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la note actuelle est destinée à compléter l’article cité. Nous y considérerons le mouvement d’un corps attiré vers un point fixe par une force qui décroît en raison inverse d’une puissance $n$ de la distance, et nous donnerons l’analyse complète des trois hypothèses $n=2,\ n=-1,\ n=3.$

II. Nous supposons le mobile $\mathrm {M,}$ dont la masse est prise pour unité, attiré par la force ${\frac {\mu }{r^{n}}}$ vers le point fixe $\mathrm {O,}$ où nous plaçons l’origine des coordonnées polaire ; en sorte que la droite $\mathrm {OM} =r$ fait avec l’axe fixe $\mathrm {OX}$ un angle $\omega .$ Les quantités $\omega ,r$ déterminant la position du mobile dans le plan où il se meut ; lequel plan n’est autre que celui qui passe à la fois par le centre $\mathrm {O}$ et par la droits quelconque suivant laquelle est dirigée la vîtesse initiale.

Cela posé, l’aire décrite dans l’instant $\operatorname {d} t$ par le point $m$, c’est-à-dire, le triangle dont la surface est ${\frac {r^{2}\operatorname {d} \omega }{2}},$ et qui est compris entre deux rayons vecteurs $\mathrm {OM,OM',}$ infiniment voisins, menés aux positions de ce point qui répondent aux temps $t,t+\operatorname {d} t,$ cette aire, dis-je, est proportionnelle à $\operatorname {d} t$ par un théorème connu ; on peut la représenter par le produit ${\frac {c\operatorname {d} t}{2}}$ de $\operatorname {d} t$ par la constante ${\frac {c}{2}}.$ On a ainsi l’égalité

(1)$\qquad r^{2}\operatorname {d} \omega =c\operatorname {d} t.$

On sait, d’autre part, que l’expression en différentielles de la force centrale a été mise par M. Binet sous la forme

(2)$\qquad R={\frac {c^{2}}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{r}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)}{\operatorname {d} \omega ^{2}}}\right\}.$^[1]

1. Voy. l’article cité, pag. 54.