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DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ.

et réduisent conséquemment à ${\frac {0}{0}}$ les valeurs des inconnues ; il arrivera que l’une des deux premières équations sera le produit de l’autre par un certain multiplicateur, qu’on pourra supposer ${\frac {d'}{d}}$ pour la première et ${\frac {d}{d'}}$ pour la seconde ; si, en effet, l’on écrit l’équation ;

$a'x+b'y+c'z+d'={\frac {d'}{d}}(ax+by+cz+d)=0$ ;

elle deviendra, en chassant le dénominateur et transposant,

$(ad'-da')x+(bd'-db')y+(cd'-dc')z=0$ ;

équation qui, d’après les relations ci-dessus, se réduit à $0=0$.

10. Si l’on fait $m=-{\frac {\lambda }{\lambda '}}$, les équations de condition prendront cette forme symétrique : $\lambda a+\lambda 'a'=0,\quad \lambda b+\lambda 'b'=0,\quad \lambda c+\lambda 'c'=0,\quad \lambda d+\lambda 'd'=0$ ;

et alors $\lambda {\text{ et }}\lambda '$ pourront tous deux être supposés entiers ; on pourra faire, par exemple,

$\lambda =\pm d',\quad \lambda '=\mp d$.

En adoptant cette notation, la relation entre les deux premières équations devient :

$\lambda (ax+by+cz+d)+\lambda '(a'x+b'y+c'z+d')=0$ ;

et l’on voit de nouveau, par là, que chacune d’elles est comportée par l’autre ; de manière qu’on peut supprimer indifféremment l’une ou l’autre.

11. Soit ensuite :

$a''x+b''y+c''z+d''=m(ax+by+cz+d)+m'(a'x+b'y+c'z+d')=0\,;$

on aura les équations de condition :

$a''=ma+m'a',\quad b''=mb+m'b',\quad c''=mc+m'c',\quad d''=md+m'd'~;$