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DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ.

enfin les deux dernières seulement seraient équivalentes, si l’on avait uniquement

$a'b''-b'a''=0,\quad b'c''-c'b''=0\quad c'a''-a'c''=0$ ;

2.^o Si, au contraire, cette relation existe sans qu’on ait

$\qquad \qquad \qquad \quad \ a\ b'\ -b\ a'\ =0,\ \ bc'\ \ -cb'\ \ =0,\ \ c\ a'\,-a\ c'\,=0;$

ni$\qquad \qquad \qquad \ \ \,a\ b''-b\,a''\ =0,\ \ b\,c''-c\,b''\ =0,\ \ c\ a''-a\ c''=0;$

ni conséquemment $a'b''-b'a''=0,\ \ b'c''-c'b''=0,\ \ c'a''-a'c''=0;$

on devra en conclure que chacune des équations proposées est comportée par les deux autres, et qu’ainsi on peut indifféremment en supprimer une quelconque des trois.

3.^o Si, enfin, cette relation subsiste avec les six relations particulières qui viennent d’être indiquées, ce sera une preuve que toutes ces équations rentrent les unes dans les autres, et que conséquemment il suffit d’en conserver une quelconque. On voit par là que, lorsque les équations tombent dans le cas du 2.^o  de l’article 17, elles se rapportent toujours à l’un des cas examinés (art. 8, 11, 14).

19. Nous venons de faire connaître les relations nécessaires et suffisantes entre les coefficient des équations du premier degré à trois inconnues pour les différens cas d’indétermination dans lesquels ces équations peuvent se trouver ; et nous avons fait voir que, dans tous, les valeurs des inconnues se présentaient également sous la forme ${\frac {0}{0}}$ ; il est aussi facile qu’important de s’assurer que, réciproquement, lorsque ces trois valeurs se présentent sous cette forme, les équations tombent nécessairement dans l’un des cas d’indétermination que nous avons discutés.

En effet, pour que les valeurs de $x,y,z,$ se présentent toutes trois sous la forme ${\frac {0}{0}}$, il est nécessaire que les quatre fonctions des coeffciens desquelles elles se composent, soient également zéro, et nous savons (art. 11) qu’il suffit pour cela qu’on ait