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RÉSOLUES.

${\begin{aligned}r(\rho +2\mathrm {R} x'+\rho 'x'^{2})&=\mathrm {R} c'',\\r(\rho +2\mathrm {R} x''+\rho ''x''^{2})&=\mathrm {R} c',\\r(\rho 'x'^{2}+2\mathrm {R} x'x''+\rho ''x''^{2})&=\mathrm {R} c,\\\end{aligned}}$

la dernière donne $r={\frac {\mathrm {R} c}{\rho 'x'^{2}+2\mathrm {R} x'x''+\rho ''x''^{2}}}~;$

substituant cette valeur dans les deux premières, et chassant les dénominateurs, elles deviendront

$(\mathrm {A'} )\qquad c(\rho +2\mathrm {R} x'+\rho 'x'^{2})=c''(\rho 'x'^{2}+2\mathrm {R} x'x''+\rho ''x''^{2}),$

$(\mathrm {A''} )\quad c(\rho +2\mathrm {R} x''+\rho ''x''^{2})=c'(\rho 'x'^{2}+2\mathrm {R} x'x''+\rho ''x''^{2})~;$

il n’est donc plus question que de tirer de ces deux équations les valeurs de $x',x'',$ pour les substituer dans celle de $r$.

Si on multiplie l’équation $\mathrm {(\mathrm {A'} )}$ par ${\frac {c'\rho \rho ''}{s}}$, et l’équation $(\mathrm {A''} )$ par ${\frac {c''\rho \rho '}{s}}~;$ en les développant toutes deux, mettant pour $\rho \rho '\rho ''$ sa valeur $\mathrm {R} ^{2}s$ et remarquant qu’on a

$\qquad s(c-c'')=c(s-c'')-c''(s-c)=c\rho ''-c''\rho ,$

$\qquad s(c-c')=c(s-c')-c'(s-c)=c\rho '-c'\rho ,$

$\qquad {\frac {c'c''\rho }{s}}=d^{2},\qquad \quad {\frac {cc''\rho '}{s}}=d'^{2},\qquad \quad {\frac {cc'\rho ''}{s}}=d''^{2},$

elles deviendront

${\begin{aligned}\left\{d(\mathrm {R} x'+\rho ''x'')\right\}^{2}-\left\{d''(\mathrm {R} x'+\rho )\right\}^{2}&=0,\\\left\{d(\mathrm {R} x''+\rho 'x')\right\}^{2}-\left\{d'(\mathrm {R} x''+\rho )\right\}^{2}&=0,\\\end{aligned}}$

et pourront alors être mises sous cette forme

${\begin{aligned}\left\{d(\mathrm {R} x'+\rho ''x'')+d''(\mathrm {R} x'+\rho )\right\}\left\{d(\mathrm {R} x'+\rho ''x'')-d''(\mathrm {R} x'+\rho )\right\}&=0,\\\left\{d(\mathrm {R} x''+\rho 'x')+d'(\mathrm {R} x''+\rho )\right\}\left\{d(\mathrm {R} x''+\rho 'x')-d'(\mathrm {R} x''+\rho )\right\}&=0,\\\end{aligned}}$

En combinant, de toutes les manières possibles, un facteur de la première avec un facteur de la seconde, on obtiendra quatre solutions du problème. On peut remarquer, au surplus, que la différence entre les premiers et les seconds facteurs porte uniquement sur les signes de $d'$ et $d''$.

Si l’on demande que les cercles cherchés se touchent extérieurement et soient tous trois intérieurs au triangle donné, on pourra lever l’in-