Veut-on s’assurer qu’une ligne donnée est courbe, on en approche une ligne droite.
Désire-t-on quelque chose de plus ; faut-il connaître le degré de courbure d’une ligne, en un certain point, on détermine le rayon du cercle qui, passant par ce point, approche de la courbe le plus possible, le rayon du cercle que les géomètres appellent le cercle osculateur. Ce rayon est-il grand, la courbure est petite, et réciproquement.
Des courbes tracées sur des plans, passons aux surfaces.
Quand on désire avoir une idée nette des courbures diverses d’une surface en un quelconque de ses points, on mène d’abord au point donné une normale à la surface ; ensuite on fait passer par cette ligne droite une série de plans sécants. Chaque plan sécant détermine une section qui est réellement partie intégrante de la surface, et qui en fixe la courbure dans un sens déterminé.
Parmi toutes les sections curvilignes qui résultent des intersections d’une surface par une série indéfinie de plans sécants normaux passant par un point donné, il en est une qui, comparativement, possède le maximum de courbure, et une autre le minimum.
Les plans dans lesquels ces sections de plus grande et de moindre courbure se trouvent contenues, sont toujours perpendiculaires l’un à l’autre.
Les courbures des sections normales intermédiaires peuvent se déduire de la plus grande et de la moindre courbure, d’après une règle générale très-simple.
Cette théorie des sections courbes appartient à Euler,
