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Cette espérance a pour valeur

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\,\mathbf {e} ^{-{\frac {x^{2}}{\varphi (t)}}}}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {\varphi (t)}}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\sqrt {\varphi (t)}}{2{\sqrt {\pi }}}}$ ;

elle est proportionnelle à la racine carrée de la fonction d’instabilité.

Nous désignerons la quantité ${\frac {\sqrt {\varphi (t)}}{2{\sqrt {\pi }}}}$ par la lettre $a$, et, dans bien des questions, nous exprimerons les variations de cours en prenant $a$ pour unité.

Dans ces conditions, la probabilité du cours $x$ est exprimée par la formule

${\frac {\mathbf {e} ^{-{\frac {x^{2}}{4\pi a^{2}}}}}{2\pi a}}\,\mathrm {d} x$.

12. Probabilité dans un intervalle donné. — La formule qui précède exprime la probabilité élémentaire.

La probabilité pour que le cours soit compris entre zéro et $x$ a pour expression

$\int _{0}^{x}{\frac {\mathbf {e} ^{-{\frac {x^{2}}{\varphi (t)}}}}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {\varphi (t)}}}}\,\mathrm {d} x$

ou, en posant ${{\frac {x^{2}}{\varphi (t)}}=\lambda ^{2}}$,

${\frac {1}{2}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {x}{\sqrt {\varphi (t)}}}\mathbf {e} ^{-\lambda ^{2}}\,\mathrm {d} \lambda ={\frac {1}{2}}\Theta {\left[{\frac {x}{\varphi (t)}}\right]}$,

en désignant par ${\Theta (y)}$ la quantité

$\Theta (y)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{y}\mathbf {e} ^{-y^{2}}\,\mathrm {d} y$.

Il existe des tables de cette fonction $\Theta$, dites tables de Kramp. Celles qui sont reproduites à la fin de mon Ouvrage sont à sept décimales.

13. La probabilité pour que le cours soit compris dans l’inter-