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exemple. La recherche de la probabilité pour que l’intervalle $\pm a$ soit dépassé avant l’époque $t$ dans un sens quelconque, constitue un problème beaucoup plus compliqué qui sera résolu plus loin (n^o 77).

66. Cherchons encore la probabilité pour que l’écart $2a$ soit atteint (dans un seul sens), avant l’époque $t$.

La probabilité ${\mathcal {P}}$ relative au cours $2a$ étant 0,213, la probabilité ${\mathcal {P}}$ relative au même cours est égale au double de cette quantité, soit 0,426.

La probabilité pour que l’écart de la faculté du double soit atteint est 0,78. Pour la faculté du triple, la probabilité serait 0,66.

67. Probabilité élémentaire. — Nous avons désigné par $\varpi$ la probabilité pour qu’un cours soit coté à l’époque $t$ ; c’est la probabilité élémentaire du premier genre. Nous désignerons par $\Pi$ la probabilité pour que ce cours soit coté pour la première fois à l’époque $t$, c’est-à-dire la probabilité élémentaire du second genre. Il est donc la probabilité pour que le cours soit coté à l’époque $t$, ne l’ayant pas été auparavant.

On a évidemment

$\int _{0}^{t}\Pi \,{\mathcal {d}}t=\mathrm {P}$ou$\Pi ={\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial t}}$,

par suite

$\Pi ={\frac {c\varphi '(t)e^{-{\frac {c^{2}}{\varphi (t)}}}}{{\sqrt {\pi }}\,\varphi (t){\sqrt {\varphi (t)}}}}\,\mathrm {d} t$.

Telle est l’expression de la probabilité pour que le cours $c$ soit atteint pour la première fois à l’époque $t$.

${\varphi '(t)}$ est la dérivée de la fonction d’instabilité ${\varphi (t)}$ qui, en toute généralité, est une donnée du problème.

Si l’on suppose l’uniformité, on a

$\Pi ={\frac {ce^{-{\frac {c^{2}}{4\pi k^{2}t}}}}{2\pi kt{\sqrt {t}}}}\,\mathrm {d} t$.