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En effet, le cours ne peut être dépassé à l’époque $t$ sans l’avoir été antérieurement. La probabilité ${\mathcal {P}}$ est donc égale à la probabilité $\mathrm {P}$, multipliée par la probabilité pour que, le cours étant coté à une époque antérieure à $t$, soit dépassé à l’époque $t$, c’est-à-dire multipliée par 1/2.

On a donc

${\mathcal {P}}={\frac {\mathrm {P} }{2}}$.

La probabilité pour que le cours $c$ soit dépassé pendant l’intervalle de temps $t$ a pour expression

$\mathrm {P} =2{\mathcal {P}}=1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {c}{\sqrt {\varphi (t)}}}\mathbf {e} ^{-\lambda ^{2}}\,\mathrm {d} \lambda$.

ou

$\mathrm {P} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {c}{2{\sqrt {\pi }}a}}\mathbf {e} ^{-\lambda ^{2}}\,\mathrm {d} \lambda$.

64. Quelques applications. — Les tables de la fonction $\Theta$ permettent de calculer la fonction

$\mathrm {P} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\frac {c}{2{\sqrt {\pi }}a}}\mathbf {e} ^{-\lambda ^{2}}\,\mathrm {d} \lambda =1-\Theta {\left({\frac {c}{2{\sqrt {\pi }}a}}\right)}$ ;

mais il est généralement beaucoup plus simple d’avoir recours à la table de probabilité du paragraphe 15, dont il suffit de doubler les chiffres puisque ${\mathrm {P} =2{\mathcal {P}}}$.

65. Cherchons, par exemple, la probabilité pour que l’écart de la prime simple $a$ soit atteint avant l’échéance de cette prime.

La probabilité ${\mathcal {P}}$ relative au cours $a$ est (n^o 15) 0,345 ; donc la probabilité $\mathrm {P}$ au même cours est

2 × 0,345 $=$ 0,69.

Il faut bien remarquer que ce chiffre exprime la probabilité pour que l’écart $a$ soit atteint dans un sens déterminé, à la hausse, par