Page:Bachelier - La Spéculation et le Calcul des probabilités, 1938.djvu/56

L’époque la plus probable à laquelle le cours sortira de l’intervalle ${(c,-b)}$, en cotant le cours $c$, est donnée par la formule

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {P} _{c,b}}{\partial t^{2}}}=0$.

L’époque la plus probable à laquelle le cours atteindra la limite $-b$ s’obtient en résolvant l’équation

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {P} _{b,c}}{\partial t^{2}}}=0$.

L’époque la plus probable à laquelle le cours sortira de l’intervalle ${(c,-b)}$ est donnée par l’égalité

${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(\mathrm {P} _{c,b}+\mathrm {P} _{b,c})=0$.

89. Époque probable. — L’époque probable à laquelle le cours sort de l’intervalle ${c,-b}$ s’obtient par la résolution de l’équation

$\mathrm {P} _{c,b}+\mathrm {P} _{b,c}={\frac {1}{2}}$.

Soit d’abord ${b=c}$ ; on devra avoir, en supposant l’uniformité,

$t={\frac {c^{2}}{8{,}24k^{2}}}$.

Si, par exemple, ${c=a=k{\sqrt {t_{1}}}}$, on aura ${t={\frac {t_{1}}{8{,}24}}}$ ; si ${c=2a=2k{\sqrt {t_{1}}}}$, on aura ${t={\frac {t_{1}}{2{,}06}}}$.

Supposons maintenant que ${b=2c}$ ; l’époque probable correspond à

$t={\frac {c^{2}}{4{,}6k^{2}}}={\frac {bc}{9{,}2k^{2}}}$.

Si, par exemple, ${c=a=k{\sqrt {t_{1}}}}$, ${b=2k{\sqrt {t_{1}}}}$, on a

$t={\frac {t_{1}}{4{,}6}}$.