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BORNES SUPÉRIEURE ET INFÉRIEURE D’UN ENSEMBLE

Si contient un nombre plus petit que tous les autres, est égal à ce nombre.

Si est un ensemble contenu dans , la borne inférieure de est au moins égale à la borne inférieure de .

Si tous les nombres de sont supérieurs ou égaux à un nombre , il en est de même de la borne inférieure de .

Quand un ensemble est borné à la fois supérieurement et inférieurement, on dit qu’il est borné.


11. Au lieu de dire qu’un ensemble est illimité supérieurement, nous conviendrons de dire qu’il a pour borne supérieure  ; et de même nous dirons qu’un ensemble a pour borne inférieure , s’il est illimité inférieurement. Tout se passe alors comme si, à l’ensemble des nombres réels (que nous appellerons nombres finis), on adjoignait deux éléments : l’un, , supérieur par définition à tout nombre réel ; l’autre, , inférieur à tout nombre réel. Nous désignerons par l’ensemble augmenté des éléments , , qui seront dits nombres infinis et seront considérés comme opposés l’un à l’autre ; d’après les conventions faites, est ordonné. Nous considérerons quelquefois des ensembles pouvant comprendre des éléments quelconques de . On peut dire à ce sujet qu’un ensemble d’éléments appartenant à a toujours une borne supérieure et une borne inférieure, qui sont des éléments de . Le mot nombre, employé seul, signifiera un nombre fini.