Une différence se remarque entre les propriétés géométriques d’une surface et celles de l’Univers. Dans le cas d’une surface, qui est le carré d’une longueur, est une quantité toujours positive ; dans le cas de l’Univers, peut être positif ou négatif ; si est positif, l’intervalle représente un temps multiplié par si est négatif, l’intervalle représente une longueur dans l’espace. Sur une surface euclidienne est la somme de deux carrés dans l’Univers euclidien de Minkowski, s’exprime au moyen de quatre carrés avec mais les carrés des trois composantes d’espace sont précédés du signe alors que le carré de la composante de temps a le signe cette différence de signe est, suivant l’expression de M. Eddington, « le secret des différences que présentent les manifestations de l’espace et du temps dans la Nature ».
Lorsque représente l’arc de courbe élémentaire (c’est-à-dire infiniment petit) d’une ligne d’Univers, est toujours positif (deux événements infiniment voisins sur une ligne d’Univers forment un couple dans le temps ; voir p. 51) et est le temps propre élémentaire multiplié par ce n’est pas une distance spatiale. La propriété de maximum des géodésiques d’Univers (au lieu de minimum comme en géométrie) est la conséquence de ce fait.
Malgré cette différence l’analogie de propriétés, d’une part entre le plan et l’Univers de Minkowski, d’autre part entre une surface courbe et l’Univers réel, est telle que nous avons le droit de dire que l’Univers de Minkowski est euclidien et que l’Univers réel est courbe.
