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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

mais ce tenseur est symétrique ($g_{21}=g_{12},$ $g_{31}=g_{32},$ etc.) de sorte qu’il n’y a que dix composantes pouvant prendre des valeurs différentes.

À partir de ce tenseur fondamental, on forme un autre tenseur, appelé tenseur de Riemann-Christoffel, dont les composantes ont une expression très compliquée (voir note 11) ; nous désignerons ce tenseur par la notation abrégée $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }\;;$ les lettres $\mu ,$ $\nu ,$ $\sigma ,$ $\rho$ mises en indices désignent l’un quelconque des indices $1,\;2,\;3,\;4\;;$ ces mêmes indices $\mu ,$ $\nu ,$ $\sigma ,$ $\rho$ figurent aussi parmi les indices des $g$ et parmi ceux des coordonnées qui interviennent dans l’expression développée de $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }.$ Nous ne pouvons guère expliquer en langage ordinaire pourquoi $\rho$ est écrit en haut alors que les trois autres indices sont écrits en bas ; disons seulement qu’il existe deux lois de transformation des composantes tensorielles lorsqu’on change de coordonnées : la loi de contrevariance et la loi de covariance ; quand un indice est de caractère contrevariant, on l’écrit en haut, quand il est de caractère covariant on l’écrit en bas.

Comme dans le cas du tenseur $g_{\mu \nu },$ mais avec deux indices de plus, pour chaque valeur $1,\;2,\;3,\;4$ des indices on a une composante du tenseur, de sorte qu’en donnant successivement à toutes les lettres $\mu ,$ $\nu ,$ $\sigma ,$ $\rho$ chacune des valeurs $1,\;2,\;3,\;4\;;$ et faisant toutes les combinaisons possibles, on obtient 256 composantes.

On démontre que l’annulation de ce tenseur, c’est-à-dire l’annulation de toutes ses composantes est la condition nécessaire et suffisante pour que l’espace-temps soit euclidien.

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$\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0.$

Les 256 équations représentées symboliquement par