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RELATIVITÉ RESTREINTE

l’événement de référence $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0},\;t_{0})$ ou $(x_{0}^{\prime },\;y_{0}^{\prime },\;z_{0}^{\prime },\;t_{0}^{\prime }),$ et l’on trouve aisément la forme des fonctions : considérons trois événements (indices 0, 1, 2), nous aurons

$x_{1}^{\prime }-x_{0}^{\prime }=f_{1}(x_{1}-x_{0},\;y_{1}-y_{0},\;z_{1}-z_{0},\;t_{1}-t_{0}),$

$x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }=f_{1}(x_{2}-x_{1},\;y_{2}-y_{1},\;z_{2}-z_{1},\;t_{2}-t_{1}),$

$x_{2}^{\prime }-x_{0}^{\prime }=f_{1}(x_{2}-x_{0},\;y_{2}-y_{0},\;z_{2}-z_{0},\;t_{2}-t_{0}),$

D’où

$f_{1}(x_{2}-x_{0},\;{\text{etc.}})=f_{1}(x_{2}-x_{1},\;{\text{etc.}})+f_{1}(x_{1}-x_{0},\;{\text{etc.}}).$

équation fonctionnelle qui montre que $f_{1}$ est une fonction linéaire et homogène de ses arguments ; il en est de même de $f_{2},\;f_{3},\;f_{4}.$

Prenons maintenant comme premier événement l’émission d’un signal lumineux en $\mathrm {O}$ et $\mathrm {O} ^{\prime }$ à l’origine des temps ; au bout du temps $t,$ pour l’observateur du système $\mathrm {S} ,$ le signal lumineux est sur la surface de la sphère du système $\mathrm {S} .$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=0.$

la vitesse de la lumière étant une constante universelle, pour l’observateur du système $\mathrm {S} ^{\prime },$ le signal est au bout du temps $t$ sur la sphère du système $\mathrm {S} ^{\prime }$

$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}=0.$

Si $x,\;y,\;z,\;t,\;x^{\prime },\;y^{\prime },\;z^{\prime },\;t^{\prime }$ sont les coordonnées d’un même appareil qui reçoit le signal (second événement), on a

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=\lambda (x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2})=0.$

Les lois des phénomènes ne devant pas changer quand on passe de $\mathrm {S}$ à $\mathrm {S} ^{\prime }$ et réciproquement, on a nécessairement $\lambda =1$ et

(5-1)

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}\equiv x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}.$