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RELATIVITÉ RESTREINTE
l’événement de référence
ou
et l’on trouve aisément la forme des fonctions : considérons trois événements (indices 0, 1, 2), nous aurons
![{\displaystyle x_{1}^{\prime }-x_{0}^{\prime }=f_{1}(x_{1}-x_{0},\;y_{1}-y_{0},\;z_{1}-z_{0},\;t_{1}-t_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3a098c37401371b0df056c06ad73f0e7d9f793)
![{\displaystyle x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }=f_{1}(x_{2}-x_{1},\;y_{2}-y_{1},\;z_{2}-z_{1},\;t_{2}-t_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ecd32423e87a340fbef6a8c105965c5765297a6)
![{\displaystyle x_{2}^{\prime }-x_{0}^{\prime }=f_{1}(x_{2}-x_{0},\;y_{2}-y_{0},\;z_{2}-z_{0},\;t_{2}-t_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a327b60d2b04f21fb449aebb6b6964ff0027223)
D’où
![{\displaystyle f_{1}(x_{2}-x_{0},\;{\text{etc.}})=f_{1}(x_{2}-x_{1},\;{\text{etc.}})+f_{1}(x_{1}-x_{0},\;{\text{etc.}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1941b3a34d13949a646197df57ab4682b387d060)
équation fonctionnelle qui montre que
est une fonction linéaire et homogène de ses arguments ; il en est de même de ![{\displaystyle f_{2},\;f_{3},\;f_{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d096d2f8ae99f8a5161e035f6802d5a2bb3179)
Prenons maintenant comme premier événement l’émission d’un signal lumineux en
et
à l’origine des temps ; au bout du temps
pour l’observateur du système
le signal lumineux est sur la surface de la sphère du système
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d171e6ab5c68f55c092b97085fa0ae4f4598ae)
la vitesse de la lumière étant une constante universelle, pour l’observateur du système
le signal est au bout du temps
sur la sphère du système ![{\displaystyle \mathrm {S} ^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a93f1a82294bf30ca1180c88ba8bf5c857da14)
![{\displaystyle x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa3e0ab8ab5c557d08af3a487727343eff0b7fc)
Si
sont les coordonnées d’un même appareil qui reçoit le signal (second événement), on a
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=\lambda (x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c42d9030a650cec6385ffeb408f1b721d1f4aa)
Les lois des phénomènes ne devant pas changer quand on passe de
à
et réciproquement, on a nécessairement
et
(5-1)
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