Page:Becquerel - Exposé élémentaire de la théorie d’Einstein et de sa généralisation.djvu/163

159

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

11^o SYMBOLES DE CHRISTOFFEL. — Nous ferons usage des symboles

(11-19)

${\begin{bmatrix}\mu \nu \\\lambda \\\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\mu \lambda }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \lambda }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\lambda }}}\right)$

(pas de sommation).

(11-20)

${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\lambda \\\end{Bmatrix}}=g^{\lambda \alpha }{\begin{bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{bmatrix}}$

(sommation par rapport à l’indice muet $\alpha$).

Les grandeurs représentées par les symboles sont nulles en coordonnées galiléennes (les $g_{\mu \nu }$ sont constants). Ces symboles sont symétriques en $\mu$ et $\nu .$ Il faut noter que ce ne sont pas des tenseurs.

12^o DÉRIVÉE COVARIANTE. — La dérivée d’un scalaire est un quadrivecteur covariant, mais la dérivée d’un quadrivecteur n’est pas un tenseur. Soit un quadrivecteur covariant $\mathrm {A_{\mu }} ,$ on démontre que les quantités

(11-21)

$\mathrm {A_{\mu \nu }} ={\frac {\partial \mathrm {A_{\mu }} }{\partial x^{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\rho \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\rho }$

constituent un tenseur covariant, appelé dérivée covariante de $\mathrm {A} _{\mu }.$

De même

(11-22)

$\mathrm {A_{\nu }^{\mu }} ={\frac {\partial \mathrm {A^{\mu }} }{\partial x^{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\rho \nu \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\rho }$

est la dérivée covariante du quadrivecteur $\mathrm {A} ^{\mu }$ contrevariant.

Généralisation. — Soit un tenseur quelconque, $\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }^{\rho }$ par exemple ; sa dérivée covariante est le tenseur :