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APPENDICE

(11-23)

{\begin{aligned}\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu \sigma }^{\rho }={\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }^{\rho }&-{\begin{Bmatrix}\lambda \sigma \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\varepsilon \mu \nu }^{\rho }-{\begin{Bmatrix}\mu \sigma \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda \varepsilon \nu }^{\rho }\\&-{\begin{Bmatrix}\nu \sigma \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda \mu \varepsilon }^{\rho }+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \sigma \\\rho \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\lambda \mu \nu }^{\varepsilon }.\end{aligned}}

La dérivée covariante remplace, dans les équations tensorielles exigées par le principe de la relativité, la dérivée ordinaire qui en est la forme dégénérée, en coordonnées galiléennes (car en coordonnées galiléennes les symboles de Christoffel sont nuls).

Supposons qu’on déplace un vecteur suivant un certain contour. Dans un espace euclidien et en coordonnées galiléennes, la condition nécessaire et suffisante pour que le vecteur reste de même longueur et parallèle à lui-même pendant le déplacement est ${\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}=0$ ${\bigg (}$ ou ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}=0{\bigg )}.$ Cette condition étant la forme dégénérée de l’équation tensorielle $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu }=0$ (ou $\mathrm {A} _{\mu \nu }=0)$ nous dirons que l’annulation de la dérivée covariante d’un quadrivecteur en tout point d’un contour exprime un « déplacement sans variation absolue » (Eddington) ou un « déplacement parallèle » (Weyl) bien qu’il ne puisse, en général, être question de parallélisme au sens de la géométrie euclidienne.