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APPENDICE

Si l’on admet que l’Univers est euclidien à distance infinie de toute matière, la loi de la gravitation dans le vide est nécessairement $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0$ (voir chap. x).

Mais si l’Univers est courbe dans son ensemble et si l’espace est fini, il n’est plus nécessaire de conserver $\mathrm {R_{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0}$ comme solution limite, et la covariance est respectée si l’on pose

(12-1)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }^{\prime }=\mathrm {R} _{\mu \nu }-\lambda g_{\mu \nu }=0$

$\lambda$ étant une constante universelle certainement très petite. Pour le moment nous supposerons $\lambda =0.$

$\mathrm {R} _{\mu \nu }^{\prime }$ est la seule expression générale d’un tenseur du second ordre, fonction seulement des $g_{\mu \nu }$ et de leurs dérivées, ne contenant pas de dérivées d’ordre $>2$ et linéaire par rapport aux dérivées secondes.

2^o THÉORÈME FONDAMENTAL. — La divergence du tenseur

$\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {R}$

est identiquement nulle, ce qu’on peut écrire

(12-2)

$\mathrm {R} _{\mu \nu }^{\nu }\equiv {\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x_{\mu }}}\cdot$

Ces quatre identités $(\mu =\,1,\,2,\,3,\,4)$ sont celles qui réduisent à 6 le nombre des conditions exprimant la loi de la gravitation dans le vide (Ch. x, p. 108).

3^o ÉQUATIONS DES GÉODÉSIQUES. — Soit $\mathrm {A} ^{\sigma }$ le vecteur contrevariant ${\frac {dx_{\sigma }}{ds}}\cdot$ Sa dérivée covariante est

(12-3)

$\mathrm {A} _{\alpha }^{\sigma }={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left({\frac {dx_{\sigma }}{ds}}\right)+{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}\cdot$