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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

Multiplions par $\mathrm {A} ^{\alpha }={\frac {dx_{\alpha }}{ds}}$ nous obtenons

(12-4)

$\mathrm {A} ^{\alpha }\mathrm {A} _{\alpha }^{\sigma }={\frac {d^{2}x_{\sigma }}{ds^{2}}}+{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}\cdot$

Le premier membre étant un tenseur, il en est de même du second. Ce tenseur s’annule en coordonnées galiléennes pour tous les points d’une géodésique car alors ${\frac {d^{2}x^{\sigma }}{ds^{2}}}=0$ et ${\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}=0$ ; par suite l’annulation de ce tenseur représente les équations d’une géodésique dans un Univers euclidien quelles que soient les coordonnées.

D’après le principe d’équivalence, il en est de même dans un champ de gravitation permanent. L’équation générale est donc

(12-5)

${\frac {d^{2}x^{\sigma }}{ds^{2}}}+{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}=0\quad$ (4 équations : $\sigma =$ 1, 2, 3, 4).

Il est à remarquer que le principe d’équivalence n’est autre chose que l’affirmation de l’existence d’un Univers tangent. Il résulte de là qu’il y a nécessairement équivalence entre un champ de force géométrique dans un Univers euclidien et un champ de gravitation permanent pour les lois qui ne font intervenir que les $g_{\mu \nu }$ et leurs dérivées premières, mais qu’il n’y a plus nécessairement équivalence pour les lois faisant intervenir les dérivées des $g_{\mu \nu }$ d’un ordre supérieur au premier.

4^o LOI DE LA GRAVITATION DANS LA MATIÈRE. — Les équations $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0,$ qui expriment la loi dans le