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APPENDICE

explicitant $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$ et $\mathrm {T} ^{\alpha \beta },$ on obtient

${\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\left({\frac {dx_{\sigma }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}\right)+{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\sigma \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}=0.$

Développant le premier terme, posant $u^{\sigma }={\frac {dx_{\sigma }}{ds}},$ et multipliant par $u_{\sigma }$ on trouve

${\frac {\partial u^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=0\qquad$ ou $\qquad \rho _{0}{\frac {\partial u^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=0\qquad$

qui 1^o exprime la conservation de la masse ; 2^o réduit l’expression précédente à l’équation des géodésiques. Levant la restriction ${\sqrt {-g}}=1$, ${\frac {\partial u^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=0$ devient ${\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\left(u^{\nu }{\sqrt {-g}}\right)=0,$ et l’équation des géodésiques ne change pas, car le 1^er membre de cette équation est un tenseur.

On voit, par les résultats qui précèdent, que la loi d’Einstein contient toute la dynamique.

7^o LA LOI DE NEWTON. — Prenant, dans un champ statique, des coordonnées très voisines de coordonnées galiléennes et devenant galiléennes à l’infini, négligeant toutes les quantités très petites, réduisant $\mathrm {T} ^{\mu \nu }$ à $\mathrm {T} ^{44}=\rho ,$, confondant $\mathrm {T} ^{44}=\rho$ et $\mathrm {T} =\rho _{0},$ tenant compte enfin de (12-21), on trouve que la formule (12-16) se réduit en première approximation à l’équation de Poisson

$\Delta \Omega =4\pi \rho \mathrm {G} ,$

avec la relation

(12-22)

$\varkappa ={\frac {8\pi \mathrm {G} }{c^{2}}}={\text{1,87}}\,.\,10^{-27}$ unité C. G. S.

8^o PROPAGATION DE LA GRAVITATION. —