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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

Dans un champ non statique, au lieu de l’équation de Poisson on obtient (après calculs compliqués)

(12-23)

$\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{3}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{4}^{2}}}\right)h_{\mu \nu }=2\mathrm {R} _{\mu \nu }.$

Les $h_{\mu \nu }$ étant les différences, supposées très petites, entre les valeurs des $g_{\mu \nu }$ et les valeurs constantes galiléennes. Dans le vide $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0$ et l’équation (12-23) exprime que les perturbations gravifiques se propagent avec la vitesse de la lumière (car $x_{4}=ct$).

Note 13.

Le champ de gravitation d’un centre matériel.

1^o EXPRESSION DE $ds^{2}.$ — Dans un Univers euclidien, si l’on prend des coordonnées polaires

$x_{1}=r,\quad x_{2}=\theta ,\quad x_{3}=\varphi ,\quad x_{4}=ct.$

l’intervalle élémentaire est

$ds^{2}=-dr^{2}-$	$\left(r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)$	$+c^{2}dt^{2}.$
	élément d’arc de sphère.

Dans le champ de gravitation qui règne autour d’un centre matériel, il n’y a plus de coordonnées euclidiennes, mais on peut, prenant la particule pour origine des coordonnées, essayer de mettre $ds^{2}$ sous une forme analogue, quitte à chercher ensuite la signification des coordonnées. Nous voyons d’abord que pour que le résultat ait une signification physique, il faudra choisir des coordonnées telles que les notions d’espace et de temps soient conservées ; il résulte de là qu’il ne faut pas introduire de termes en $dr\,d\theta$, etc., $dr\,dt,$ etc., à cause de la symétrie « dans l’espace » de la particule et de son champ, et de la symé-