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APPENDICE

trie « dans le temps » de son histoire passée et future, suivant l’expression de M. Eddington. Posons donc :

ds^{2}=-e^{\lambda }dr^{2}-(r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2})+e^{\nu }dx_{4}^{2}\,;\quad dx=cdt.

On réussit effectivement à déterminer $\lambda$ et $\nu$ (qui sont des fonctions de $r$ et non de $\theta ,$ $\varphi ,$ $t$ et doivent s’annuler à l’infini) de manière que la loi d’Einstein $\mathrm {R} _{\sigma \tau }=0$ soit satisfaite.

On a

g_{11}=-e^{\lambda },\quad g_{11}=-r^{2},\quad g_{33}=-r^{2}\sin ^{2}\theta ,\quad g_{44}=e^{\nu }

g=-e^{\lambda +\nu }r^{4}\sin ^{2}\theta .

Il faut écrire les équations $\mathrm {R} _{\sigma \tau }=0$ (qui se réduisent ici à $\mathrm {R} _{11}=0,$ $\mathrm {R} _{22}=0,$ $\mathrm {R} _{33}=0,$ $\mathrm {R} _{44}=0$ ) en explicitant tous les symboles de Christoffel. On arrive, après des calculs assez pénibles, au résultat suivant (résultat rigoureux)^[1], établi par M. Schwarzschild.

(13-1)

ds^{2}=-{\frac {1}{\gamma }}dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}+\gamma c^{2}dt^{2}

avec

\gamma =1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}

(

\mathrm {G}

constante de la gravitation newtonienne).

↑ L’objection faite récemment par M. Painlevé (C. R. de l’Ac. des Sc.) contre les conclusions qu’on peut déduire de la formule d’Einstein-Schwarzschild n’est pas justifiée. M. Painlevé a employé d’autres coordonnées et a, naturellement, trouvé une autre expression exacte de $ds^{2}.$ Mais si le mathématicien considère à son point de vue toutes les coordonnées comme équivalentes, il n’en est pas de même du physicien lorsque celui-ci a besoin d’interpréter les résultats, car le choix des coordonnées peut alors se trouver imposé par la nature des grandeurs qui interviennent dans les mesures expérimentales. Or le résultat de M. Painlevé ne saurait être interprété physiquement parce que sa formule contient un terme en $dr\,dt$ incompatible avec la symétrie dans le temps, et que par suite les coordonnées employées n’ont plus de sens au point de vue de ce que nous appelons « distance » et « temps ». Les conclusions physiques de M. Painlevé sont, pour cette raison, complètement inexactes.

[1] L’objection faite récemment par M. Painlevé (C. R. de l’Ac. des Sc.) contre les conclusions qu’on peut déduire de la formule d’Einstein-Schwarzschild n’est pas justifiée. M. Painlevé a employé d’autres coordonnées et a, naturellement, trouvé une autre expression exacte de $ds^{2}.$ Mais si le mathématicien considère à son point de vue toutes les coordonnées comme équivalentes, il n’en est pas de même du physicien lorsque celui-ci a besoin d’interpréter les résultats, car le choix des coordonnées peut alors se trouver imposé par la nature des grandeurs qui interviennent dans les mesures expérimentales. Or le résultat de M. Painlevé ne saurait être interprété physiquement parce que sa formule contient un terme en $dr\,dt$ incompatible avec la symétrie dans le temps, et que par suite les coordonnées employées n’ont plus de sens au point de vue de ce que nous appelons « distance » et « temps ». Les conclusions physiques de M. Painlevé sont, pour cette raison, complètement inexactes.

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