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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

coordonnées galiléennes) on a les équations de Maxwell Lorentz (note 10). Nous allons chercher la forme tensorielle générale dont elles sont une forme dégénérée.

Soient $\mathrm {G_{1}}$ , $\mathrm {G_{2}}$ , $\mathrm {G_{3}}$ les composantes du potentiel vecteur (unités électromagnétiques) et $\psi$ le potentiel scalaire (unités électrostatiques) de la théorie habituelle. En vue de la généralisation, posons

(14-1)

\;\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=x,&x_{2}&=y,&x_{3}&=z,&x_{4}&=ct\\\varphi _{1}&=\mathrm {-G_{1}} ,&\varphi _{2}&=\mathrm {-G_{2}} ,&\varphi _{3}&=\mathrm {-G_{3}} ,&\varphi _{4}&=\psi .\end{aligned}}\right.

On a, avec cette notation (formules connues)

(14-2)

{\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {\partial {\varphi _{1}}}{\partial {x_{4}}}}-{\frac {\partial {\varphi _{4}}}{\partial {x_{1}}}}&\mathrm {L} &={\frac {\partial {\varphi _{2}}}{\partial {x_{3}}}}-{\frac {\partial {\varphi _{3}}}{\partial {x_{2}}}}\end{aligned}}

etc.

Écrivons maintenant les équations de Maxwell-Lorentz (note 10) en désignant par $u$ , $v$ , $w$ les composantes de la densité de courant (unités électromagnétiques) et $\mathrm {P}$ la densité de charge (unités électrostatiques), (l’unité de charge étant choisie de façon que le facteur $4\pi$ disparaisse). Nous avons

(14-3)

\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathrm {L} }}{\partial {x_{4}}}}+{\frac {\partial {\mathrm {Z} }}{\partial {x_{2}}}}-{\frac {\partial {\mathrm {Y} }}{\partial {x_{3}}}}&=0\\{\frac {\partial {\mathrm {M} }}{\partial {x_{4}}}}+{\frac {\partial {\mathrm {X} }}{\partial {x_{3}}}}-{\frac {\partial {\mathrm {Z} }}{\partial {x_{1}}}}&=0\\{\frac {\partial {\mathrm {N} }}{\partial {x_{4}}}}+{\frac {\partial {\mathrm {Y} }}{\partial {x_{1}}}}-{\frac {\partial {\mathrm {X} }}{\partial {x_{2}}}}&=0\\{\frac {\partial {\mathrm {L} }}{\partial {x_{1}}}}+{\frac {\partial {\mathrm {M} }}{\partial {x_{2}}}}+{\frac {\partial {\mathrm {N} }}{\partial {x_{3}}}}&=0\end{aligned}}\right.