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APPENDICE

intégrabilité de la direction caractérise donc le champ de gravitation.

De même, la non-intégrabilité de la longueur doit caractériser un champ d’une autre nature. Ne serait-ce pas le champ électromagnétique ?

Puisque nous ne sommes pas certains qu’on puisse définir une unité valable en tous les points, nous devons définir une unité en chaque point-événement de l’Univers ; nous appellerons jauge l’unité d’intervalle choisie en chaque point. Le système de jauges est arbitraire comme le système de coordonnées : il faut, dans le cas le plus général, diviser l’Univers en cellules par un système quelconque de coordonnées et dans chaque cellule infiniment petite adopter une jauge. Les jauges sont seulement soumises à la condition d’être infiniment peu différentes dans deux cellules infiniment voisines, ce qui est possible car l’ambiguïté disparaît à la limite pour un déplacement infiniment petit. Lorsque les jauges étaient supposées les mêmes partout, dix mesures d’intervalles $ds$ autour d’un point permettaient de déterminer les dix $g_{\mu \nu }$ et de décrire le champ de gravitation ; maintenant 14 mesures vont être nécessaires pour déterminer les $g_{\mu \nu }$ et 4 « potentiels » supplémentaires qui paraissent bien correspondre aux composantes du quadrivecteur potentiel électromagnétique. Les 14 potentiels $g_{\mu \nu }$ et $\varphi _{\mu }$ définissent la géométrie du système de coordonnées et du système de jauges, et contiennent en eux la structure de l’Univers.

Faisons décrire à un vecteur $\mathrm {A} _{\mu }$, par déplacement parallèle, un contour fermé infiniment petit, limitant $d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }\;;$ d’après (16-1) sa variation est

(16-3)

$d\mathrm {A} _{\mu }={\frac {1}{2}}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\varepsilon }\mathrm {A} _{\varepsilon }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }={\frac {1}{2}}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma \rho }\mathrm {A} ^{\rho }\,d\mathrm {S} ^{\nu \sigma },$