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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

considérer, par définition, comme représentant la même unité qu’en $\mathrm {A} .$

L’intégrabilité de la longueur (généralisée : voir note 11, n^o 9) est la restriction qui subsiste et qu’il faut supprimer.

Le champ de gravitation correspond à la non-intégrabilité de la direction. Soit en effet $\mathrm {A^{\mu }}$ un quadrivecteur ; faisons-lui décrire un circuit fermé par « déplacement parallèle » (note 11, n^o 12) c’est-à-dire tel que la dérivée covariante $\mathrm {A_{\nu }^{\mu }}$ soit constamment nulle.

(16-1)

${\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }=0.$

La variation de ce vecteur est

$\delta \mathrm {A} ^{\mu }=\int {\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}\,dx^{\nu }=-\int {\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }dx_{\nu }.$

Posons $d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }=-d\mathrm {S} ^{\sigma \nu }=dx_{\nu }dx_{\sigma }\;;$ $d\mathrm {S}$ est un tenseur symétrique gauche qui fait correspondre à l’aire élémentaire une direction positive de parcours sur le contour qui la limite. L’équation précédente s’écrit

$\delta \mathrm {A} ^{\mu }=-{\frac {1}{2}}\iint \left[{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\left({\begin{Bmatrix}\nu \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\left({\begin{Bmatrix}\sigma \alpha \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }\right)\right]ds^{\nu \sigma }.$

(16-2)

$\delta \mathrm {A} ^{\mu }={\frac {1}{2}}\iint \mathrm {R} _{\rho \nu \sigma }^{\mu }\mathrm {A} ^{\rho }d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }$

de même

$\delta \mathrm {A} _{\mu }={\frac {1}{2}}\iint \mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }\mathrm {A} _{\rho }d\mathrm {S} ^{\nu \sigma }.\quad$

La condition nécessaire et suffisante pour que la variation soit nulle est que le tenseur de Riemann-Christoffel soit nul, c’est-à-dire que l’Univers soit euclidien. La non-