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deuxième partie. — la relativité généralisée.

électromagnétique est nul ; on savait d’ailleurs déjà que l’électron ne pouvait exister qu’en admettant des forces de cohésion non maxwelliennes (pression de Poincaré). Ce sont ces faits qui ont conduit Einstein à modifier la loi de la gravitation et à introduire le terme cosmologique $-\lambda g_{\mu \nu }$ (n^o 107).

Admettons, pour un moment, la continuité dans la structure géométrique de l’Univers, et partons de la loi de la gravitation, basée sur la conservation de l’impulsion-énergie,

(45-18)

$-\varkappa \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }=\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\left(\mathrm {R} -2\lambda \right)=\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\left(\mathrm {R} -{\frac {1}{2}}{^{*}}\mathrm {R} \right),$

où $\mathrm {T} _{\mu }^{\prime }$ représente maintenant le tenseur total d’énergie ; nous pouvons calculer le scalaire de ce tenseur ; nous devrons considérer ce scalaire comme représentant, en chaque point, la densité au repos de la substance ; nous aurons ainsi l’expression microscopique de la densité au repos.

D’après (25-18), (30-18), (31-18), nous avons

(46-18)

${^{*}}\mathrm {R} _{\mu \nu }=\mathrm {B} _{\mu \nu }+\mathrm {F} _{\mu \nu }\;\left\{{\begin{aligned}\mathrm {B} _{\mu \nu }&=\mathrm {R} _{\mu \nu }+\varphi _{\mu \nu }+\varphi _{\nu \mu }-\left(\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\sigma }\right)_{\sigma }\\&\quad +\mathrm {S} _{\alpha \nu }^{\beta }\mathrm {S} _{\beta \mu }^{\alpha }-2\varphi _{\alpha }\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\alpha },\\\mathrm {F} _{\mu \nu }&={\frac {\partial \varphi _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial \varphi _{\nu }}{\partial x_{\mu }}}\;({\text{sym}}\mathrm {\acute {e}} {\text{trique gauche}}).\end{aligned}}\right.$

Nous pouvons écrire

(47-18)

$\mathrm {B} _{\mu \nu }=\mathrm {R} _{\mu \nu }+\mathrm {F} _{\mu \nu }\qquad {^{*}}\mathrm {R} =\mathrm {B} =\mathrm {R} +\mathrm {H} ,$

avec

(48-18)

$\mathrm {H} _{\mu \nu }=\varphi _{\mu \nu }+\varphi _{\nu \mu }-\left(\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\sigma }\right)_{\sigma }+\left[\mathrm {S} _{\alpha \nu }^{\beta }\mathrm {S} _{\beta \mu }^{\alpha }-2\varphi _{\alpha }\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\alpha }\right],$

(49-18)

$\mathrm {H} =2\varphi _{\alpha }^{\alpha }+\lambda _{\alpha }^{\alpha }+\left[\mathrm {S} _{\alpha \beta ,\,\gamma }\mathrm {S} ^{\alpha \gamma ,\,\beta }+2\varphi _{\alpha }\lambda ^{\alpha }\right].$

On a alors les relations

(50-18)

$\varkappa \mathrm {R} =-\mathrm {H} =\mathrm {R} -\mathrm {R} {^{*}}$

(identique à (21-17), car dans le système de jauges naturel, $\mathrm {R} {^{*}}$ est la valeur de $\mathrm {R}$ dans le vide), et, en tenant compte de $\mathrm {B} _{\mu \nu }=\lambda g_{\mu \nu }$ (système naturel),

(51-18)

$\varkappa \mathrm {T} _{\mu }^{\nu }=\mathrm {H} _{\mu }^{\nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\nu }\mathrm {H} .$

Cette formule, se rapportant au tenseur $\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\sigma }$, donne l’aspect