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chapitre XVIII. — champ de gravitation et champ électromagnétique.

électrique du tenseur impulsion-énergie, par opposition avec (45-18) qui en donne l’aspect gravitationnel.

D’après (50-18) nous avons, pour expression de la densité de « substance » en chaque point d’Univers,

(52-18)

$-{\frac {\mathrm {H} }{\varkappa }}=-{\frac {1}{\varkappa }}\left(2\varphi _{\alpha }^{\alpha }+\lambda _{\alpha }^{\alpha }+\left[\mathrm {S} _{\alpha \beta ,\gamma }\mathrm {S} ^{\alpha \gamma ,\beta }+2\varphi _{\alpha }\lambda ^{\alpha }\right]\right).$

Rappelons que

${\begin{aligned}\mathrm {S} _{\alpha \beta ,\gamma }&=\varphi _{\alpha \beta ,\gamma }-\varphi _{\alpha \gamma ,\beta }-\varphi _{\gamma \beta ,\alpha },&\lambda ^{\alpha }&=-\mathrm {S} _{\;\sigma ,\alpha }^{\sigma }.\end{aligned}}$

La substance apparaît ainsi comme une structure d’Univers qu’on peut caractériser par un scalaire formé à partir des tenseurs géométriques fondamentaux $g_{\mu \nu }$ (ou $\mathrm {B} _{\mu \nu }$ puisque, dans le système de jauges naturel, $\mathrm {B} _{\mu \nu }=\lambda g_{\mu \nu }$) et $\varphi _{\mu \nu ,\sigma }.$

Avec la restriction de Weyl, $\mathrm {H} _{\mu \nu }$ et $\mathrm {H}$ prennent une forme beaucoup plus simple. Admettons que $\varphi _{\mu \nu ,\sigma }$ soit le produit de $g_{\mu \nu }$ par un vecteur ; pour avoir $2\varphi _{\mu }=\mathrm {S} _{\sigma \mu }^{\sigma }$ (26-18), nous devons poser

(53-18)

$\varphi _{\mu \nu ,\sigma }=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\varphi _{\sigma }.$

Le calcul des différents termes de $\mathrm {H} _{\mu \nu }$ et de $\mathrm {H}$ donne

(54-18)

$\;\left\{{\begin{aligned}\mathrm {H} _{\mu \nu }&={\frac {1}{2}}(\varphi _{\mu \nu }+\varphi _{\nu \mu })+{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\varphi _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\varphi _{\alpha }\varphi ^{\alpha }-{\frac {1}{2}}\varphi _{\mu }\varphi _{\nu },\\[0.75ex]\mathrm {H} &={}^{\ast \!}\mathrm {R} -\mathrm {R} =3\varphi _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {3}{2}}\varphi _{\alpha }\varphi ^{\alpha }.\end{aligned}}\right.$

Il est permis de se demander si les forces de cohésion mystérieuses (pressions de Poincaré) qui permettent l’existence de l’électron ne seraient pas les $\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\tau },$ qui, ajoutées aux composantes du champ de gravitation ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\tau \\\end{Bmatrix}}$, constituent les forces, invariantes vis-à-vis de tout système de jauges, c’est-à-dire absolues, ${\begin{array}{r}{}^{\star }\\[1ex]\\\end{array}}\!\!{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\tau \\\end{Bmatrix}}$^[1] (23-18). Toujours est-il que l’union du tenseur de gravitation $g_{\mu \nu }$ et du tenseur « d’électricité », $\varphi _{\mu \nu ,\sigma }$ (ou plus simplement, si l’on admet la restriction de Weyl, l’union du tenseur $g_{\mu \nu }$ et du potentiel électromagnétique $\varphi _{\mu }$) suffit pour déterminer $\mathrm {H} ,$ c’est-à-dire

1. Il est à remarquer que les $\mathrm {S} _{\mu \nu }^{\tau },$ constituent un tenseur, alors que les ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\tau \\\end{Bmatrix}},$ ${\begin{array}{r}{}^{\star }\\[1ex]\\\end{array}}\!\!{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\tau \\\end{Bmatrix}}$ ne sont pas les composantes d’un tenseur.