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chapitre XII. — la théorie des surfaces de gauss.

mise à une loi découverte par Einstein, mais dont la cause première reste un profond mystère.

60. Transformations de coordonnées.

Dans un système localement euclidien (chute libre), le principe restreint est applicable dans un domaine suffisamment petit. Soient donc $\mathrm {X} _{1},$ $\mathrm {X} _{2},$ $\mathrm {X} _{3}$ les coordonnées d’espace par rapport à des axes rectangulaires quelconques, $\mathrm {X} _{4}=ct$ la coordonnée de temps. L’intervalle entre deux événements infiniment voisins

(6-12)

$ds^{2}=-d\mathrm {X} _{1}^{2}-d\mathrm {X} _{2}^{2}-d\mathrm {X} _{3}^{2}+d\mathrm {X} _{4}^{2}$

est indépendant de l’orientation des axes choisis, et est mesurable dans le système avec des règles et des horloges.

$\mathrm {X} _{1},$ $\mathrm {X} _{2},$ $\mathrm {X} _{3},$ $\mathrm {X} _{4},$ sont des coordonnées galiléennes. Introduisons maintenant de nouvelles coordonnées $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $x_{4},$ fonctions des anciennes : inversement, les anciennes coordonnées sont des fonctions des nouvelles variables $x_{\mu }:$

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}&=f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\,;&\mathrm {X} _{2}&=f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\,;&\ldots \end{aligned}}$

On en déduit

(7-12)

$\;d\mathrm {X} _{1}={\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{4}}}\,dx_{4},\qquad \ldots$

Substituant dans (6-12), $ds^{2}$ prend la forme d’une fonction quadratique des $dx_{\mu }:$

(8-12)

${\begin{aligned}ds^{2}={}&g_{11}\,dx_{1}^{2}+g_{22}\,dx_{2}^{2}+g_{33}\,dx_{3}^{2}+g_{44}\,dx_{4}^{2}\\&+2g_{12}\,dx_{1}\,dx_{2}+2g_{13}\,dx_{1}\,dx_{3}+2g_{14}\,dx_{1}\,dx_{4}\\&+2g_{23}\,dx_{2}\,dx_{3}+2g_{24}\,dx_{2}\,dx_{4}+2g_{34}\,dx_{3}\,dx_{4}.\end{aligned}}$

Les $g_{\mu \nu }$ sont des fonctions des coordonnées, dépendant de la transformation

$g_{\mu \nu }=-{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial f_{3}}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial f_{3}}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{\nu }}}\cdot$

La forme de l’expression (8-12) n’est pas modifiée par une