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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.

sivement à chacun d’eux les valeurs 1, 2, 3, 4. On aurait

${\begin{aligned}\mathrm {A} '^{\sigma \tau }={\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{1}}}\mathrm {A} ^{11}&+{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{2}}}\mathrm {A} ^{12}+\ldots \\&+{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{1}}}\mathrm {A} ^{21}+{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{2}}}\mathrm {A} ^{22}+\ldots \end{aligned}}$

ceci est l’expression d’une composante, correspondant à deux valeurs déterminées pour $\sigma$ et $\tau$, et pour écrire les 16 composantes, il faudrait donner successivement à $\sigma$ et à $\tau$ les valeurs 1, 2, 3, 4 ; $\mathrm {\mathrm {A} } '^{11},$ $\mathrm {\mathrm {A} } '^{12},\dots$

Dans la suite nous n’emploierons plus que la notation abrégée telle que (6-13).

Revenons aux 16 produits (5-13) ${\big [}\mathrm {A} ^{\mu \nu }$ dans le premier système de coordonnées, $\mathrm {A} '^{\sigma \tau }$ d’après (6-13) dans le second système${\big ]}.$ Ils constituent les composantes d’un tenseur contrevariant de second ordre.

D’une façon générale, tout ensemble de 16 fonctions $\mathrm {A} ^{\mu \nu }$ qui se transforment suivant la loi précédente (6-13) forme un tenseur contrevariant de second ordre.

Un tel tenseur n’est pas nécessairement constitué, comme (5-13), par les produits des composantes de deux quadrivecteurs. On démontre que les 16 composantes $\mathrm {A} ^{\mu \nu }$ d’un tenseur sont les sommes des $\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }$ de quatre paires de quadrivecteurs convenablement choisis.

Il est clair qu’on peut généraliser et définir des tenseurs contrevariants d’ordre 3, 4, $\dots ,$ $n,$ un tenseur de rang $n$ ayant $4^{n}$ composantes^[1] : par exemple, les 64 expressions

$\mathrm {A} '^{\sigma \tau \rho }={\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\alpha }}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{\beta }}}{\frac {\partial x'_{\rho }}{\partial x_{\gamma }}}\mathrm {A} ^{\alpha \beta \gamma }$ (indices muets $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$)

constituent un tenseur contrevariant d’ordre 3.

Tenseurs covariants. — De même l’ensemble des 16 produits des composantes de deux quadrivecteurs covariants, et d’une

1. Bien entendu, dans une multiplicité à trois dimensions seulement, le nombre des composantes serait $3^{n}.$ Un tenseur du second ordre, à 9 composantes, est utilisé dans la théorie de l’élasticité ; il est fourni par les tensions internes d’un solide ou d’un fluide visqueux. On désigne par $p_{xy}$ une composante qui est une tension dans le sens de l’axe des $y$ et qui s’exerce sur une surface normale à l’axe des $x:$ chaque composante est ainsi associée à deux directions et le tenseur est du second ordre dans une multiplicité à trois dimensions $x,$ $y,$ $z.$