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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Pour résoudre ce problème, Einstein n’a eu que les données suivantes :

1^o Les formules qui expriment les conditions générales auxquelles doivent satisfaire les dix potentiels $g_{\mu \nu }$ sont des relations tensorielles ;

2^o À distance infinie de toute matière ou de tout rayonnement, l’Espace-Temps est euclidien ;

3^o La loi générale de conservation de l’impulsion et de l’énergie doit être satisfaite.

Il est remarquable que ces conditions aient suffi pour déterminer la loi de la gravitation.

I. — LOI DE LA GRAVITATION DANS LE VIDE.

74. Signification du tenseur Riemann-Christoffel.

Lorsque l’Espace-Temps est euclidien, on peut choisir des coordonnées galiléennes ; les $g_{\mu \nu }$ étant constants, tous les symboles de Christoffel disparaissent et toutes les composantes du tenseur de Riemann-Christoffel $\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }$ s’annulent ; mais alors ces composantes s’annulent aussi dans tout système de coordonnées (propriété fondamentale du caractère tensoriel).

L’équation

(1-14)

$\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\rho }=0$

exprime donc une condition nécessaire pour que l’Espace-Temps soit euclidien.

On a d’ailleurs démontré que cette condition, qui se réduit à 20 équations distinctes^[1], est suffisante : lorsqu’elle est remplie, on peut mettre $ds^{2}$ sous la forme galiléenne ($g_{\mu \nu }=0$ si $\mu \neq \nu \,;$ $g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1\,;$ $g_{44}=+1$).

Ainsi, l’annulation du tenseur de Riemann-Christoffel exprime que l’Espace-Temps est euclidien.

1. Ceci résulte du fait que $\mathrm {B} _{\mu \nu \rho \sigma }$ est symétrique gauche en $\mu$ et $\rho$ ainsi qu’en $\nu$ et $\sigma .$