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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

de sorte que (74) s’écrit simplement

$\left[m_{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}\right],$

le crochet indiquant qu’on doit prendre la différence des valeurs de cette quantité aux deux limites. On peut écrire encore

(75-14)

${\frac {d}{ds}}\!\left(m_{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}\right)ds,$

$ds$ étant, comme dans l’expression (73-14), la longueur de l’arc de ligne d’Univers compris entre les deux limites.

L’équation (72) devient

(76-14)

${\frac {d}{ds}}\!\left(m_{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}\right)+m_{0}{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\mu \\\end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}=0,$

formule qui donne le taux de variation de la quantité de mouvement et de l’énergie de la particule.

De cette équation on déduit :

${\begin{aligned}m_{0}g_{\mu \nu }{\frac {dx_{\nu }}{ds}}{\frac {d}{ds}}\!\left(\!m_{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}\!\right)&=-m_{0}^{2}g_{\mu \nu }{\begin{Bmatrix}\alpha \beta \\\mu \end{Bmatrix}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}\\&=-m_{0}^{2}{\begin{bmatrix}\alpha \beta \\\nu \end{bmatrix}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}\\&=-{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x_{\nu }}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}\\&=-{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}{\frac {dg_{\alpha \beta }}{ds}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}\\&=-{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}{\frac {dg_{\mu \nu }}{ds}}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}\cdot \end{aligned}}$

Ajoutons membre à membre à cette équation la même équation obtenue en permutant $\mu$ et $\nu ,$ nous obtenons

${\begin{aligned}g_{\mu \nu }m_{0}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}{\frac {d}{ds}}\!\left(m_{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}\right)&+g_{\mu \nu }m_{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {d}{ds}}\!\left(m_{0}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}\right)\\&+m_{0}^{2}{\frac {dg_{\mu \nu }}{ds}}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}=0,\end{aligned}}$

ou

${\frac {d}{ds}}\!\left(g_{\mu \nu }{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}m_{0}^{2}\right)=0\,;$