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chapitre XV. — le champ électromagnétique.

Le second groupe de Maxwell (5-15) s’écrit maintenant

(12-15)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {F} ^{12}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} ^{13}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} ^{14}}{\partial x_{4}}}&=u,\\{\frac {\partial \mathrm {F} ^{21}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} ^{23}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} ^{24}}{\partial x_{4}}}&=v,\\{\frac {\partial \mathrm {F} ^{31}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} ^{32}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} ^{34}}{\partial x_{4}}}&=w,\\{\frac {\partial \mathrm {F} ^{41}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} ^{42}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {F} ^{43}}{\partial x_{3}}}&=\mathrm {P} \,;\end{aligned}}\right.$

Les premiers membres des quatre équations (12-15), qui se résument sous la forme abrégée

${\frac {\partial \mathrm {F} ^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}$

constituent les quatre composantes d’un quadrivecteur contrevariant, car ${\frac {\partial \mathrm {F} ^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}$ est la forme dégénérée en coordonnées galiléennes de la divergence $\mathrm {F} _{\nu }^{\mu \nu }$ qui est un quadrivecteur contrevariant. Par conséquent les seconds membres $u,$ $v,$ $w,$ $\mathrm {P}$ des équations (12-15) sont les composantes d’un quadrivecteur contrevariant, le quadrivecteur « courant », dont les composantes d’espace constituent le courant de convection (unités électromagnétiques) et dont la composante de temps est la densité de charge (unités électrostatiques). Nous pouvons donc poser

(13-15)

$u=\mathrm {J} ^{1},\qquad v=\mathrm {J} ^{2},\qquad w=\mathrm {J} ^{3},\qquad \mathrm {P} =\mathrm {J} ^{4}.$

On peut d’ailleurs voir directement que les $\mathrm {J} ^{\mu }$ sont les composantes d’un quadrivecteur contrevariant ; on a, en effet,

(14-15)

${\begin{aligned}(u,v,w,\mathrm {P} )&=\mathrm {P} \left({\frac {1}{c}}{\frac {dx}{dt}},\,{\frac {1}{c}}{\frac {dy}{dt}}\,{\frac {1}{c}}{\frac {dz}{dt}},\,{\frac {dt}{dt}}\right)\\&=\mathrm {P} \left({\frac {dx_{1}}{dx_{4}}},\,{\frac {dx_{2}}{dx_{4}}},\,{\frac {dx_{3}}{dx_{4}}},\,{\frac {dx_{4}}{dx_{4}}}\right)\\&=\mathrm {P} {\frac {ds}{dx_{4}}}\left({\frac {dx_{1}}{ds}},\,{\frac {dx_{2}}{ds}},\,{\frac {dx_{3}}{ds}},\,{\frac {dx_{4}}{ds}}\right)\cdot \end{aligned}}$

$\mathrm {P} {\frac {ds}{dx_{4}}}$ est la charge totale par unité de volume propre, car ${\frac {ds}{dx_{4}}}=\alpha$ est la contraction de volume. Or la charge du volume propre est invariante (relativité restreinte n^o 38), donc $u,$ $v,$ $w,$ $\mathrm {P}$ se trans-