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deuxième partie. — la relativité généralisée.

on a donc bien une « action » au sens mécanique du mot, c’est-à-dire le produit d’une énergie $m_{0}c^{2}$ par un temps ${\bigg (}\!$temps propre $\int d\tau {\bigg )}.$

2^o L’action de substance de l’électricité est représentée par le terme

(3-16)

$\mathrm {H} _{2}={\frac {1}{c}}\varphi _{\alpha }\mathrm {J} ^{\alpha }$

qui, en coordonnées galiléennes, est égal à

${\frac {1}{c}}\left(-\mathrm {G} _{1}u-\mathrm {G} _{2}v-\mathrm {G} _{3}w+\psi \mathrm {P} \right)$

($\mathrm {G} _{1},$ $\mathrm {G} _{2},$ $\mathrm {G} _{3},$ composantes du potentiel vecteur ; $u,$ $v,$ $w,$ composantes de la densité de courant de la théorie habituelle ; $\psi ,$ potentiel scalaire ; $\mathrm {P} ,$ densité de charge).

3^o Le terme d’action du champ électromagnétique est l’invariant

(4-16)

${\frac {1}{c}}\left({\frac {1}{4}}\mathrm {F} _{\mu \nu }\mathrm {F} ^{\mu \nu }\right)$

égal, en coordonnées galiléennes, à

${\frac {1}{c}}\left[{\frac {1}{2}}(\mathrm {L} ^{2}+\mathrm {M} ^{2}+\mathrm {N} ^{2})-{\frac {1}{2}}(\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2})\right].$

Nous devons remarquer que, dans un espace ne contenant que du rayonnement, l’action substantielle est nulle : $\mathrm {H} _{2}=0,$ car $\mathrm {J} ^{\alpha }=0,$ et $\mathrm {H} _{1}=0$ puisque la masse au repos de l’énergie rayonnante est inexistante. C’est en ce fait que réside la plus grosse différence entre matière et rayonnement, c’est-à-dire entre énergie liée et énergie libre.

4^o Enfin le terme de gravitation $\mathrm {H} _{4}$ est un invariant par rapport aux transformations de coordonnées admettant pour invariant fondamental la forme quadratique $ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx_{\mu }\,dx_{\nu }.$ Posons ${\mathfrak {H}}_{4}=\mathrm {H} _{4}{\sqrt {-g}}$ et intégrons par parties l’expression $\iiiint _{\chi }\mathrm {H} _{4}\,d\omega ,$ les $g^{\mu \nu },$ $g_{\alpha }^{\mu \nu },$ $g_{\alpha \beta }^{\mu \nu }$ étant variés ; $\mathrm {H} _{4}$ dépendant linéairement des $g_{\alpha \beta }^{\mu \nu }$ et les facteurs de ces dérivées secondes ne contenant que les $g^{\mu \nu },$