Par le point N menons un grand cercle quelconque NN′ de pôle I. Projetons les points Σ et S en σ et s sur ce grand cercle.
Dans les triangles sphériques rectangles on a (Math. gén.) :
,
.
FIGURE 76
D’où, en vertu de (1) :
,
.
Les angles H et η que font l’incident et le réfracté avec un plan quelconque mené par la normale satisfont à la loi de Descartes.
2o. Réfraction inclinée par les deux faces d’un prisme.
Considérons ON′ comme la normale à la seconde face d’un prisme. Le plan NN′ est donc la section principale du prisme ; la droite OI est l’arête du prisme.
Cherchons la direction de l’émergent, représentée par le point S′.
Appliquons le théorème précédemment démontré. On a (fig. 77) :
,
.
L’incident et l’émergent font le même angle avec la section principale du prisme.
FIGURE 77
3o. — Reprenons la figure 76.
Les triangles rectangles donnent :
,
;
.
Éliminons η, au moyen de l’équation :
.