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On trouve immédiatement :

$n'\,=\,{\sqrt {n^{2}\,+\,\left(n^{2}-1\right)\operatorname {tg} ^{2}\mathrm {H} }}\,=\,{\sqrt {1\,+\,\left(n^{2}-1\right)\operatorname {s{\acute {e}}c} ^{2}\mathrm {H} }}$.

Cette équation contient le théorème fondamental de Bravais : Les projections des rayons sur la section principale du prisme satisfont à la loi de Descartes, à la condition d’utiliser un indice n′ plus grand que n, et dont la valeur dépend de l’obliquité H d’incidence ou d’émergence, que nous savons égales.

4^o. — Ces règles très simples déterminent complètement la direction de l’émergent (fig. 78). En effet, connaissant l’incident I, nous connaissons sa projection P sur la section principale du prisme, par suite nous connaissons l’angle H et l’indice n′ à utiliser.

FIGURE 78

Nous connaissons aussi l’angle i de cette projection.

Avec cet angle i et l’indice n′, nous calculons de proche en proche les angles r, r′ et i′ par les formules ordinaires du prisme :

$\sin i\,=\,n\sin r$,    $r\,+\,r'\,=\,\mathrm {A}$,    $\sin i'\,=\,n\sin r'$

Nous avons ainsi le rayon auxiliaire émergent P′ conjugué de P, à partir duquel il est facile de calculer l’émergent E, puisque l’angle H est le même à l’incidence et à l’émergence.

51. Déviations.

1^o. — Le lecteur se reportera à la figure 79. La section principale du prisme est supposée parallèle au plan IMKO.

Les directions initiale et finale du rayon sont Α′O et OB′ ; leurs projections sur la section principale sont ΑO et OB. La déviation du rayon est l’angle D′ = a′OB′ que font les directions initiale et finale ; la déviation du rayon projeté est D = aOB.

Nous savons que les angles Α′OΑ et BOB′ sont égaux (angle H). Dans les triangles sphériques rectangles égaux qui ont le sommet commun M, on a :

$\cos {\frac {\pi \,-\,\mathrm {D} '}{2}}\,=\,\cos {\frac {\pi \,-\,\mathrm {D} }{2}}\,\cdot \,\cos \mathrm {H}$, $\sin {\frac {\mathrm {D} '}{2}}\,=\,\sin {\frac {\mathrm {D} }{2}}\,\cdot \,\cos \mathrm {H}$. (2)

D’où la conclusion : la déviation du rayon qui n’est pas dans la section principale, est plus petite que celle de sa projection sur cette section.