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L’inclinaison $u'_{1}$ du conjugué du rayon ΑB, dans l’espace image de l’appareil 1 est donnée par la formule :

$h\,=\,f'_{1}\,\cdot \,\operatorname {tg} u'_{1}$.

Il coupe le plan F₂ à une hauteur :

$h_{2}\,=\,\Delta \,\operatorname {tg} u'_{1}\,=\,{\frac {\Delta h}{f'_{1}}}$.

Donc son inclinaison dans l’espace image du système 2 (qui est aussi l’espace image du système résultant) est donnée par la formule :

$h_{2}\,=\,{\frac {\Delta h}{f'_{1}}}\,=\,f'_{2}\,\cdot \,\operatorname {tg} u'_{1}$.    $h\,=\,{\frac {f'_{1}f'_{2}}{\Delta }}\,\operatorname {tg} u'$.           (2)

D’où par la comparaison de (1) et de (2) :

${\overline {\mathrm {F'O'} }}\,=\,f'\,=\,{\frac {f'_{1}f'_{2}}{\Delta }}$.

On trouverait de même :

$f\,=\,{\frac {f_{1}f_{2}}{\Delta }}$.

On a l’habitude de compter les distances focales à partir des plans principaux vers les foyers ; il faut donc poser :

$f\,=\,-\,{\frac {f_{1}f_{2}}{\Delta }}$.      $f'\,=\,-\,{\frac {f'_{1}f'_{2}}{\Delta }}$.

Le problème est ainsi complètement résolu.

Il est évident que le même procédé de calcul de proche en proche s’applique à un nombre quelconque de systèmes.

Il est inutile de noircir du papier pour donner des formules générales qui ne servent jamais.

99. Théorème sur les distances focales d’un système quelconque.

Des relations établies ci-dessus on tire :

${\frac {f}{f'}}\,=\,-\,{\frac {f_{1}f_{2}}{f'_{1}f'_{2}}}$.

Ajoutons un troisième système.

Soient F, F′, les distances focales du système résultant. On a :

${\frac {\mathrm {F} }{\mathrm {F} '}}\,=\,{\frac {ff_{3}}{f'f'_{3}}}\,=\,{\frac {f_{1}f_{2}f_{3}}{f'_{1}f'_{2}f'_{3}}}$.          (3)

Et ainsi de suite.

D’où la proposition suivante : Si nous associons un nombre quelconque de systèmes dont les distances focales ont le même signe, les distances focales du système résultant ont le même signe. En particulier nous savons que les lentilles convergentes ou divergentes ont