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Montrons directement l’existence de ce point nodal en utilisant la partie inférieure de la figure 141.

Pour abréger les calculs, supposons entre les milieux 2 et 3 une mince couche du milieu 1.

Un rayon issu de C tombe sur la surface de rayon R′ sous l’angle :

      $i\,=\,\alpha \,+\,\beta \,=\,h\left({\frac {1}{\mathrm {R} '}}\,+\,{\frac {1}{\gamma }}\right)$.      $\left({\overline {\mathrm {O\Gamma '} }}\,=\,\mathrm {R} ',\,{\overline {\mathrm {OC} }}\,=\,\gamma \right)$.

L’angle i étant petit, la déviation est :

$\delta \,=\,i\,-\,r\,=\,i\,\left(1\,-\,{\frac {n_{3}}{n_{1}}}\right)\,=\,h\,\left({\frac {1}{\mathrm {R} '}}\,+\,{\frac {1}{\gamma }}\right)\,\left(1\,-\,{\frac {n_{3}}{n_{1}}}\right)$.

Le rayon rencontre alors un fragment de lentille qui est équivalent à un prisme d’angle (§ 58) :      $\mathrm {A} \,=\,h\,\left({\frac {1}{\mathrm {R} }}\,+\,{\frac {1}{\mathrm {R} '}}\right)$,

et qui donne la déviation (§ 49) :      $\delta '\,=\,h\,\left({\frac {1}{\mathrm {R} }}\,+\,{\frac {1}{\mathrm {R} '}}\right)\,\left(1\,-\,{\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)$.

Écrivons que les déviations se compensent :

$\left({\frac {1}{\mathrm {R} }}\,+\,{\frac {1}{\mathrm {R} '}}\right)\,\left(1\,-\,{\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)\,=\,\left({\frac {1}{\mathrm {R} '}}\,+\,{\frac {1}{\gamma }}\right)\,\left(1\,-\,{\frac {n_{3}}{n_{1}}}\right)$ ;

c’est-à-dire :      ${\frac {n_{3}\,-\,n_{1}}{\gamma }}\,=\,{\frac {n_{2}\,-\ n_{1}}{\mathrm {R} }}\,+\,{\frac {n_{2}\,-\,n_{3}}{\mathrm {R} '}}$

qui est précisément la formule à retrouver.

3^o. — Dans le cas du système air-crown-eau, on a :

$n_{1}\,=\,1$,     $n_{2}\,=\,1,53$     $n_{3}\,=\,1,33$.

Pour une lentille biconvexe symétrique, on a :

$f\,=\,1,37\cdot \mathrm {R}$,     $f'\,=\,1,82\cdot \mathrm {R}$ ;      $\gamma \,=\,0,45\cdot \mathrm {R}$.

Le rayon issu de C est relevé par la première réfraction qui a lieu censément entre l’eau et l’air (voir plus haut), puis rabattu d’une quantité égale par son passage à travers la lentille dont les faces baignent dans l’air. Les deux déviations se font au même point, puisque la lentille est très mince.

105. Formule des lentilles minces dont les faces sont baignées par des milieux identiques.

1^o. — Posons :      $n_{1}\,=\,n_{3}\,=\,\mathrm {N}$,    $n_{2}\,=\,n$.

La formule devient :

${\frac {1}{p_{1}}}\,+\,{\frac {1}{p_{2}}}\,=\,\left({\frac {n}{\mathrm {N} }}\,-\,1\right)\,\left({\frac {1}{\mathrm {R} }}\,+\,{\frac {1}{\mathrm {R} '}}\right)$.

C’est la formule même des lentilles où l’indice n du verre est