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et proportionnelles aux indices des milieux correspondants (§ 80). Pour former q dioptres, il faut q + 1 milieux dont nous représentons les indices par $n_{0},n_{1},\cdots n_{q}$. On a :

${\frac {f_{1}}{f'_{1}}}={\frac {n_{0}}{n_{1}}}$,1234${\frac {f_{2}}{f'_{2}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}$,1234${\frac {f_{q}}{f'_{q}}}={\frac {n_{q-1}}{n_{q}}}$.

D’où :               $f:f'=n_{0}:n_{q}$

Quel que soit le système, les distances focales sont proportionnelles aux indices des milieux extrêmes correspondants. Si les milieux extrêmes sont identiques, les distances focales sont égales.

Dans tous les cas elles sont de même signe.

Cela veut dire que si le plan principal objet est à droite du foyer de l’espace, objet, le plan principal image est à gauche du foyer de l’espace image ; ou inversement. Mais les plans principaux peuvent êlre placés n’importe comment l’un par rapport à l’autre ; celui qui correspond au milieu extrême de droite n’est pas nécessairement à droite de celui qui correspond au milieu extrême de gauche.

2^o. — Théorème de Lagrange.

Un système quelconque est donné par ses plans principaux et ses foyers (fig. 153). Soit O une longueur dans un plan de front P de l’espace objet ; soit I la longueur conjuguée du plan de front P′ de l’espace image. On a :

${\frac {\mathrm {O} }{\mathrm {I} }}={\frac {p-f}{f}}={\frac {pf'}{p'f}}={\frac {pn_{q}}{p'n_{0}}}$,

en vertu du théorème précédent.

FIGURE 153

Par les points Α, Α′, des plans de front conjugués P, P’, menons des rayons conjugués quelconques ΑB, B′Α′. On a :

$h=p\operatorname {tg} u_{0}=p'\operatorname {tg} u_{q}$

D’où :          $\mathrm {O} n_{0}\operatorname {tg} u_{0}=\mathrm {I} n_{q}\cdot \operatorname {tg} u_{q}$.

Cette formule contient le théorème de Lagrange.

Comme le système n’est aplanétique que pour de petits angles