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Dans nos figures la lumière va de gauche à droite.

Supposons (fig. 158) les deux lentilles convergentes.

Déterminons la position du point K (§ 109).

Prenons ${\overline {\rm {C_{1}O}}}=t$, comme inconnue. On a :

${\frac {\overline {\rm {B_{1}C_{1}}}}{\overline {\rm {KO}}}}={\frac {f_{1}}{f_{1}-t}}={\frac {f_{1}}{f_{1}-d+t}}$,    $t={\frac {df_{1}}{f_{1}+f_{2}}}$.

2^o. — Le point N de l’espace objet de la lentille 1 (premier milieu à gauche) qui fait son image en O, est le point nodal de l’espace objet. Appliquons donc la formule :

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}={\frac {1}{f_{1}}}$,   en posant : $p'={\frac {df_{1}}{f_{1}+f_{2}}}$.

Il vient :    ${\frac {1}{p}}={\frac {1}{f_{1}}}-{\frac {f_{1}+f_{2}}{f_{1}d}}$,    $p=-d{\frac {f_{1}}{f_{1}+f_{2}-d}}$.

$p={\overline {\rm {C_{1}N}}}$ est compté à partir du point ${\rm {C_{1}}}$ en sens inverse de la propagation de la lumière.

Si ${\overline {\rm {C_{1}N}}}$ est positif, le point N est à gauche de ${\rm {C_{1}}}$.

Cherchons l’image de O dans l’espace image de système 2.

FIGURE 158

Appliquons la formule :

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}={\frac {1}{f_{2}}}$,   en posant : $p={\frac {df_{2}}{f_{1}+f_{2}}}$.

Il vient :       $p'={\overline {\rm {C_{2}N'}}}=-d{\frac {f_{2}}{f_{1}+f_{2}-d}}$

Si ${\overline {\rm {C_{2}N'}}}$ est positif, le point ${\rm {N'}}$ est à droite de ${\rm {C_{2}}}$.

3^o. — Calculons la position des foyers.

Le foyer Φ′ dans l’espace image du système résultant est le conjugué du point ${\rm {F'_{1}}}$ par rapport à la lentille 2.

Or ${\rm {F'_{1}}}$ est à la distance de cette lentille :

$p=d-f_{1}$.    D’où :    ${\frac {1}{p'}}+{\frac {1}{d-f_{1}}}={\frac {1}{f_{2}}}$.

${\overline {\rm {C_{2}\Phi '}}}={\frac {f_{2}\left(f_{1}-d\right)}{f_{1}+f_{2}-d}}$.