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Pour deux radiations auxquelles correspondent les signes prime et seconde, les déviations sont à travers le premier prisme :

$\mathrm {D} '_{1}=\left(n'_{1}-1\right)\mathrm {A} _{1}$,

$\mathrm {D} ''_{1}=\left(n''_{1}-1\right)\mathrm {A} _{1}$ ;

à travers le second :

$\mathrm {D} '_{2}=\left(n'_{2}-1\right)\mathrm {A} _{2}$,

$\mathrm {D} ''_{2}=\left(n''_{2}-1\right)\mathrm {A} _{2}$.

La déviation résultant chacune des radiations est donc :

$\mathrm {D} '=\mathrm {D} '_{1}-\mathrm {D} '_{2}=\left(n'_{1}-1\right)\mathrm {A} _{1}-\left(n'_{2}-1\right)\mathrm {A} _{2}$,

$\mathrm {D} ''=\mathrm {D} ''_{1}-\mathrm {D} ''_{2}=\left(n''_{1}-1\right)\mathrm {A} _{1}-\left(n''_{2}-1\right)\mathrm {A} _{2}$.

3^o. — Obtention d’une dispersion sans déviation moyenne.

C’est le problème du spectroscope à vision directe.

Écrivons que pour la partie moyenne du spectre (indices n₁ et n₂) la déviation est nulle :

               $\left(n_{1}-1\right)\mathrm {A} _{1}=\left(n_{2}-1\right)\mathrm {A} _{2}=a$,          (1)

Calculons la dispersion $\Delta ={\rm {D'-D''}}$. On a :

$\Delta =\left(n'_{1}-n''_{1}\right)\mathrm {A} _{1}-\left(n'_{2}-n''_{2}\right)\mathrm {A} _{2}=\Delta n_{1}\cdot \mathrm {A} _{1}-\Delta n_{2}\cdot \mathrm {A} _{2}$.

D’où, en vertu de (1) :

$\Delta =\mathrm {A} _{1}\left(n_{1}-1\right)\left[{\frac {\Delta n_{1}}{n_{1}-1}}-{\frac {\Delta n_{2}}{n_{2}-1}}\right]=a\left({\frac {1}{v_{1}}}-{\frac {1}{v_{2}}}\right)$.

Ainsi le problème est possible, à la condition que les paramètres $v_{1},v_{2}$, qui caractérisent les deux verres, ne soient pas égaux.

4^o. — Obtention d’une déviation sans dispersion. Achromatisme.

La condition de non-dispersion est :

          ${\rm {D'=D''}}$,          $\mathrm {A} _{1}\Delta n_{1}=\mathrm {A} _{2}\Delta n_{2}=b$.

La déviation moyenne est :

$\mathrm {D} =\left(n_{1}-1\right)\mathrm {A} _{1}-\left(n_{2}-1\right)\mathrm {A} _{2}$.

On peut écrire :

$\mathrm {D} =\mathrm {A} _{1}\Delta n_{1}\left[{\frac {n_{1}-1}{\Delta n_{1}}}-{\frac {n_{2}-1}{\Delta n_{2}}}\right]=b\left(v_{1}-v_{2}\right)$.

Nous explicitons encore les paramètres $v$.

5^o. — Il résulte de ce qui précède la possibilité de déterminer $\Delta n$ au moyen d’un prisme d’angle connu de la matière à étudier, en l’achromatisant à l’aide d’un prisme de matière connue, d’angle variable et déterminable. On a longtemps suivi cette méthode ; il est préférable de tailler un prisme dans la matière à étudier et de mesurer directement ses indices.