Page:Bouasse - Optique géométrique élémentaire, Focométrie, Optométrie, 1917.djvu/61

D’où l’égalité :          $-p\alpha \,=\,p'\beta \,=\,\mathrm {R} \gamma$.

On a :          $\beta \,=\,r\,+\,\gamma$,     $\alpha \,+\,\beta \,=\,i\,+\,r\,=\,2r$

d’où :                    $\beta \,-\,\alpha \,=\,2\gamma$.

Remplaçant les quantités proportionnelles :

${\frac {1}{p}}\,+\,{\frac {1}{p'}}\,=\,{\frac {2}{\mathrm {R} }}$.

qui est précisément la formule (1).

25. Discussion de la formule. Foyers.

Différentions l’équation (1) :

${\frac {dp}{dp'}}\,=\,-\,{\frac {p^{2}}{p^{'2}}}\,<\,0$

Les segments p et p′ varient toujours en sens inverse. Si le point lumineux va de droite à gauche, l’image va de gauche à droite.

Pour suivre commodément la discussion, représentons sur deux droites les positions correspondantes de l’objet et de l’image.

Cela revient à séparer l’espace en un espace objet et un espace image.

Les points conjugués de ces deux espaces portent le même numéro.

Le signe → veut dire que l’objet ou l’image sont très loin, à l’infini, dans la direction de la flèche.

$p\,=\,\infty$ donne p′ = R : 2. Un cône de rayons dont le sommet est à droite et très loin, c’est-à-dire un cylindre de rayons parallèle à l’axe, se transforme en un cône de sommet F′ qui est à égale distance du miroir et de son centre de courbure.

Le point F′ est le foyer de l’espace image.

L’objet passe de 1 en 2, l’image s’éloigne du miroir.

FIGURE 32

Quand l’objet arrive en 3 (centre de courbure), on a p = p′ = R : l’image coïncide avec lui ; ce qui est évident en raison des propriétés des rayons d’une sphère.