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PENDULE, SPIRAL, DIAPASON

2^o — Nous pourrions nous servir de la formule établie au tome I, § 157, mais il vaut mieux reprendre l’analyse directe du phénomène en n’utilisant que les résultats qualitatifs de ce paragraphe et la figure qui le termine.

Supposons d’abord que le choc ait lieu au voisinage de la position d’équilibre, un peu après cette position, alors que l’élongation est $\theta .$ Soit $u$ la vitesse de rotation alors à peu près constante. Le temps mis pour parvenir à l’élongation $\theta$ est :

$\theta \ :\ u.$

Brusquement alors, un choc fait passer la vitesse de la valeur $u$ à la valeur $u+\delta u.$ Le temps qu’avec cette nouvelle vitesse le mobile aurait mis à passer de la position d’équilibre à l’élongation $\theta$ est $\theta \ :(u+\delta u).$ D’où un allongement de la période égal à :

$\delta \mathrm {T} ={\frac {\theta }{u}}-{\frac {\theta }{u+\delta u}}={\frac {\theta .\delta u}{u^{2}}},$

ce qui est précisément la formule du tome I, § 157.

Ainsi quelles que soient les forces amortissantes pour le reste de l’oscillation, l’allongement de la période se calcule immédiatement, connaissant la vitesse maxima et la variation que le choc imprime à cette vitesse. C’est un allongement si le choc a lieu après le passage à la position d’équilibre ; c’est un raccourcissement s’il a lieu avant ce passage, comme on le voit immédiatement en reprenant le raisonnement précédent. De toute manière, la variation est proportionnelle à l’élongation $\theta$ pour lequel le choc se produit.

3^o — Soit $\mathrm {I}$ le moment d’inertie du balancier. Son énergie cinétique maxima est $u^{2}\mathrm {I} \ :\ 2.$ Quand la vitesse croît de $\delta u,$ cette énergie croît de :

$\delta \mathrm {W} =2\mathrm {I} u\delta u.$

Transportons la valeur de $\delta u$ dans la formule (1), il vient :

$\delta \mathrm {T} ={\frac {\theta }{2\mathrm {I} u^{2}}}\delta \mathrm {W} .$

Conséquence de cette formule : tout ce qui augmente les frottements, par conséquent tout ce qui diminue la vitesse $u$ au passage par la position d’équilibre, augmente l’effet d’un échappement qui fournit une énergie constante $\delta \mathrm {W}$ à une distance constante $\theta$ de la position d’équilibre.

Voici une intéressante application de cette règle. Pour une montre accrochée (au pendu), les frottements sont plus grands que pour une montre posée sur un plan horizontal (au plat). Donc l’effet de l’échappement sur la période est plus grand au pendu qu’au plat.

Si (comme c’est le cas d’un échappement libre à ancre) l’échappement allonge la période, la montre au pendu retarde par rapport à la