ascendantes. Dans le premier cas, en plaçant l’origine des x à l’entrée du canal, on n’aura le long de celui-ci que des abscisses x positives ; et l’on pourra convenir de compter le temps à partir d’un moment où l’expression (3o) de sera encore nulle pour x>o. Dans le second cas, en plaçant l’origine des x à l’embouchure, l’on n’aura, au contraire, que des abscisses x négatives ; et l’on comptera de même le temps t à partir d’une époque où <>
= o tout le long du canal, savoir pour x < o. »
18. Cela posé, formons les intégrales du problème pour la région du cours d’eau située en avant du plan x =’t, c’est-à -dire ayant des abscisses plus grandes que ’ t, dans le cas d’ondes descendantes où l’on a ’<, mais plus petites que w’ t dans le cas d’ondes ascendantes, ou ' est > . Cette région comprendra évidemment tout le canal si w et ’ ont signes
contraires ; ce qui arrivera dans les cours d’eau franchementtranquilles(non torrentiels), où g H excède notablement U. Même dans un cours d’eau torrentiel, elle sera assez étendue pour que la différence x — t, inférieure ou supérieure àx- ’t suivant que les ondes descendent ou remontent le courant, y varie de part et d’autre de zéro, et finalement dans d’aussi larges limites que l’on voudra, une fois t devenu assez grand. »
La région considérée donnant, suivant les cas, x — 't> o ou x—
w’t < o, l’intégrale de (31), savoir = une fonction de x — ’t, y devient simplement 6 = o à raison de la donnée d’état initial, qui annule h et quand t s’annule, pour toutes les valeurs respectivement positives ou négatives de x. Dès lors, l’équation (3o) a elle même pour intégrale h = F(x — t), où la fonction F, nulle (au moins sensiblement) pour les valeurs soit positives, soit négatives de sa variable, en vertu de la même condition d’état initial, reste arbitraire pour les valeurs respectivement négatives ou positives de cette variable x — t. »
L’équation (28), ainsi devenue
[HU-(o—U)h]=o, montre
que l’expression IIU’
—
(w
—
U)h est nulle partout, comme aux points du canal que l’onde n’a pas encore atteints ; et il vient, en définitive, pour la solution cherchée, vérifiant d’ailleurs (27) non moins que (28),
