ou, d’une manière générale, Après avoir formé ainsi les définitions des premiers nombres, on ajoute : etc. Qu’est-ce que cet etc., sinon l’idée d’une infinité de définitions analogues à celles qu’on a créées ? Or, cette infinité, l’arithméticien la condense dans la formule suivante : définition contenant en elle un nombre infini de définitions. Un tel concept est plus qu’une nouveauté, par rapport au concept purement logique : c’est déjà une déviation de la parfaite intelligibilité.
Il en est de même pour les démonstrations. Les mathématiques exigent, en maint endroit, un mode de raisonnement qui est autre que la déduction logique. Il consiste à généraliser avec force démonstrative le résultat d’une démonstration particulière. C’est ce que l’on voit dès la théorie de l’addition, fondement des mathématiques entières. Soit à démontrer que Je fais d’abord et j’ai par identité. Ensuite, je prends un détour, et je dis : supposons que Si cette supposition est admise, en ajoutant 1 à chacun des deux membres, nous avons ce qui, en retranchant les termes qui s’annulent, donne précisément Nous avons supposé Mais appelons et nous sommes ramenés au problème précédent. Nous pouvons donc poursuivre ainsi jusqu’à ce que nous revenions au cas où On appelle ce mode de démonstration raisonnement par récurrence. C’est, on le voit, une démonstration qui contient un nombre de démonstrations aussi grand que l’on voudra, puisque peut être supposé
