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des hauteurs égales^[1], et dont les bases ont pour somme l’aire de la base polygonale proposée. On en conclut que le volume de la pyramide est toujours le produit de faire de sa base par le tiers de sa hauteur^[2].

84. Aire du cercle. – Nous ne nous sommes occupés jusqu’ici que d’aires ou de volumes limités par des droites ou des faces planes. C’est qu’en effet, quelque combinaison d’opérations connues (cf. n^o 63) que l’on opère sur l’unité de surface (plane ou l’unité de volume, on n’obtiendra jamais comme résultat — si ce n’est dans des cas très exceptionnels — ni une aire plane limitée par une ligne courbe, ni un volume limité par une surface courbe (surface non-plane). Les mesures de semblables aires on volumes ne pourront donc pas, en général, être ramenées par un procédé théorique exact^[3] à des mesures de longueurs rectilignes ainsi

↑ toutes égales à la hauteur de la pyramide proposée, c’est-à-dire à la longueur de la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base [par l’expression « hauteur de la pyramide » nous désignons, suivant les cas, cette perpendiculaire ou sa longueur, cf. p. 88, note 1].
↑ La découverte de cette proposition est attribuée à Eudoxe de Cnide (vide supra, n^o 78). – Rappelons qu’à l’étude la pyramide se rattache celle d’un corps solide remarquable qui a joué un grand rôle en géométrie : c’est la pyramide tronquée ou tronc de pyramide (grec ou grec) portion de pyramide comprise entre la base et un plan parallèle à la base ; ce plan coupe les diverses faces latérales de la pyramide suivant des segments de droites dont la réunion forme un polygone, appelé base supérieure du tronc ; la base de la pyramide en est la base inférieure ; ainsi, la figure $\mathrm {ABCA'B'C'}$ ci-contre est un tronc de pyramide à bases triangulaires. Le tronc de pyramide est la différence des deux pyramides (sur la figure : $\mathrm {SABC,\,SA'B'C'} ,$ ] ; il a pour hauteur la différence $\mathrm {SH-SH'}$ des hauteurs des deux pyramides. Appelons $h$ la mesure de cette hauteur, $b$ et $b'$ les mesures (exactes on arbitrairement approchées, des aires des deux bases inférieure et supérieure, : la mesure du volume du tronc de pyramide est donnée en termes précis, au i^er ou au ii^e siècle ap. J.-C., par Héron d’Alexandrie (Stereometrica I. chap. 33, 34. Metrica, liv, II : elle a pour expression (exacte un arbitrairement approchée) :
${\frac {h}{3}}\times \left(b+b'+{\sqrt {b\times b'}}\right).$
↑ c’est-à-dire conduisant à la mesure exacte et non pas seulement à une mesure approchée. C’est pourquoi le problème de la détermination des aires et volumes courbes est exclu des Éléments d’Euclide. Euclide se borne à des comparaisons de telles aires ou de tels volumes entre eux (vide n^o 64).

[1] toutes égales à la hauteur de la pyramide proposée, c’est-à-dire à la longueur de la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base [par l’expression « hauteur de la pyramide » nous désignons, suivant les cas, cette perpendiculaire ou sa longueur, cf. p. 88, note 1].

[2] La découverte de cette proposition est attribuée à Eudoxe de Cnide (vide supra, n^o 78). – Rappelons qu’à l’étude la pyramide se rattache celle d’un corps solide remarquable qui a joué un grand rôle en géométrie : c’est la pyramide tronquée ou tronc de pyramide (grec ou grec) portion de pyramide comprise entre la base et un plan parallèle à la base ; ce plan coupe les diverses faces latérales de la pyramide suivant des segments de droites dont la réunion forme un polygone, appelé base supérieure du tronc ; la base de la pyramide en est la base inférieure ; ainsi, la figure $\mathrm {ABCA'B'C'}$ ci-contre est un tronc de pyramide à bases triangulaires. Le tronc de pyramide est la différence des deux pyramides (sur la figure : $\mathrm {SABC,\,SA'B'C'} ,$ ] ; il a pour hauteur la différence $\mathrm {SH-SH'}$ des hauteurs des deux pyramides. Appelons $h$ la mesure de cette hauteur, $b$ et $b'$ les mesures (exactes on arbitrairement approchées, des aires des deux bases inférieure et supérieure, : la mesure du volume du tronc de pyramide est donnée en termes précis, au i^er ou au ii^e siècle ap. J.-C., par Héron d’Alexandrie (Stereometrica I. chap. 33, 34. Metrica, liv, II : elle a pour expression (exacte un arbitrairement approchée) :
${\frac {h}{3}}\times \left(b+b'+{\sqrt {b\times b'}}\right).$

[3] ’est-à-dire conduisant à la mesure exacte et non pas seulement à une mesure approchée. C’est pourquoi le problème de la détermination des aires et volumes courbes est exclu des Éléments d’Euclide. Euclide se borne à des comparaisons de telles aires ou de tels volumes entre eux (vide n^o 64).

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