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$1000$ en milles anglais. Mais il y a quelque chose que ne modifient pas les changements d’unités. Considérons en effet deux longueurs commensurables quelconques dont les mesures exactes aient été calculées par rapport à des unités différentes : il résulte des définitions du n^o 61 que le rapport (ou quotient) des mesures respectives des deux longueurs reste le même lorsque l’on passe d’une unité à une autre ; ce rapport, en d’autres termes, ne dépend que de la grandeur relative des deux longueurs et non de l’unité qui sert à les mesurer. C’est pourquoi notre langage ne prêtera à aucune équivoque si nous convenons d’appeler « rapport (ratio) des deux longueurs $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {CD}$ » le rapport de leurs mesures exactes déterminées relativement à une unité quelconque : nons pouvons ajouter qu’en conséquence de nos définitions 61). le rapport $\mathrm {\frac {AB}{CD}}$ n’est autre que le nombre (entier ou fractionnaire) qui mesure la longueur $\mathrm {AB}$ quand on prend la longueur $\mathrm {CD}$ pour unitė.

Ainsi les mesures exactes représentent des rapports de grandeurs à grandeurs semblables (car nous pourrions raisonner sur des grandeurs quelconques comme nous l’avons fait sur les longueurs), et les calculs effectués sur les mesures ne sont que l’expression numérique des comparaisons et rapprochements auxquels donnent lieu les rapports de grandeurs.

Il en est ainsi du moins pour les grandeurs exactement mesurables. En sera-t-il autrement pour les autres ? – Sans doute dans le cas des grandeurs incommensurables, l’assimilation de la mesure à un nombre fractionnaire n’a plus qu’une valeur approximative. Mais la notion de rapport de grandeurs, — qui est, nous venons de le voir, indépendante de l’unité et par conséquent du calcul. — est-elle nécessairement dépendante de la notion de nombre ? Ne pourrait-on pas soutenir que nous en avons l’intuition directe et qu’en conséquence nous sommes libres de l’appliquer à toutes les grandeurs géométriques, indistinctement ?

Nous allons voir qu’il en est ainsi en effet et que l’on peut considérer et étudier des « rapports » de grandeurs quelconques, se prêtant tous à des opérations identiques^[1].

1. C’est Eudoxe de Cnide, contemporain de Platon, qui paraît avoir constitué le premier une théorie générale des rapports géométriques, et l’on a mème attribué à ce géomètre la paternité du V^e livre des