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Bornons-nous, pour l’instant, à remarquer que l’on peut inscrire dans la sphère ou circonscrire à la sphère un polyèdre ayant un nombre arbitraire de faces : le polyèdre est dit inscrit dans la sphère si tous ses sommets sont sur la surface de la sphère ; il est dit circonscrit à la sphère si toutes ses faces sont tangentes à la sphère (la touchent en un point seulement et ne le traversent pas).

Cela posé, en raisonnant comme nous l’avons fait sur le cercle au n^o 84, on constate que si le polyèdre inscrit ou circonscrit a un très grand nombre de faces très petites, sa surface (ensemble de ses faces) est une figure qui se confond presque avec la surface de la sphère, son volume est très voisin du volume de la sphère. Supposons alors que nous puissions évaluer l’aire de la surface (somme des aires des faces) et le volume d’un polyèdre inscrit ou circonscrit à $n$ faces, — polyèdre dont la forme reste à notre discrétion pourvu que les faces soient arbitrairement petites quand leur nombre a est arbitrairement grand : nous aurons ainsi, de l’aire et du volume de la sphère des valeurs arbitrairement approchées.

Nous parviendrons ainsi aux résultats bien connus que voici^[1] ; L’aire de la surface de la sphère est le quadruple de l’aire d’un grand cercle. Le volume de la sphère est égal au produit de l’aire de sa surface par le tiers de la longueur de son rayon^[2].

4. Rapports et proportions

88. – La mesure, telle que nous l’avons définie au § 2. indique combien de fois l’unité est contenue dans la grandeur mesurée. Elle est donc relative à l’unité et variable en même temps qu’elle ainsi la longueur qui a pour mesure $1\,609$ en kilomètres mesure

1. $4.\pi .r^{2}$ pour l’aire, ${\frac {4}{3}}.\pi .r^{3}$ pour le volume, avec les notations et dans les conditions indiquées page 96, note 3.
2. Archimède a présenté ces faits sous diverses formes ; il énonce en particulier comme il suit le théorème relatif au volume : grec (surface totale c’est-à-dire surface latérale plus surfaces des bases) grec préface. Sur le tombeau d’Archimède, un monument représentant la sphère et le cylindre circonscrit (qui a pour base un grand cercle) immortalisa l’énoncé de ce théorème.