métrie, que ces rapports sont aussi égaux au rapport comme nous l’avons déclaré.
91. – Mais cette égalité des rapports qu’affirme notre proposition, peut-elle, elle-même, être démontrée ? On ne saurait la prouver que par des considérations arithmétiques, Du point de vue de la géométrie, il faut l’admettre a priori (ou admettre une proposition équivalente), ce qui revient à voir dans la construction des géomètres grecs la définition même de la similitude et de l’égalité des rapports de longueurs. Nous dirons, en d’autres termes, que le
rapport de deux longueurs et est égal au rapport de deux autres longueurs et si ces longueurs satisfont à la condition géométrique suivante : Sur deux demi-droites arbitraires issues d’un même point je porte à partir de des longueurs égales à [savoir sur et sur ] ; les deux rapports seront dits égaux si les droites et sont parallèles (fig. 60).
Semblable définition ne se trouve toutefois justifiée que par ce fait que, dans le cas où elle est arithmétiquement contrôlable. — c’est-à-dire lorsque les quatre segments sont exactement mesurables. — elle est en effet véridique[1]. De ce fait,
- ↑ Supposons que l’unité ou sous-unité de longueur soit contenue un nombre exact de fois dans et dans par exemple fois dans et
fois dans Divisons en cinq segments égaux à l’unité, et par les extrémités de ces segments, menons les parallèles à qui coupent aux points Je démontre que les segments sont tous égaux à : (menons ) parallèle à la figure est un parallélogramme (no 75) : donc d’ailleurs les angles des triangles et sont égaux (vide infra, 168) : donc ces triangles sont égaux et l’on a la même démonstration s’applique aux segments Il résulte de là que le point est aux deux tiers de comme le point est aux deux tiers de On raisonnera semblablement si est hors du triangle (cas des figures 59).
