d’ailleurs on conclura, en raisonnant comme au no 61, que lorsque les grandeurs et et qui satisfont à la condition énoncées sont incommensurables, les rapports de leurs mesures approchées ont des valeurs d’autant plus voisines l’une de l’autre que les grandeurs ont elles-mêmes été mesurées avec une approximation plus grande.
92. – La construction géométrique, faite comme il a été dit, permet de décider si deux rapports donnés sont ou ne sont pas égaux : elle permet également de classer par ordre de grandeur les rapports inégaux. Soient en effet considérées quatre longueurs que nous portons comme tout à l’heure sur les deux droites (fig. 60), savoir et sur et sur Si l’extrémité de la longueur tombe en point de rencontre de avec la parallèle à les rapports et sont égaux (no 91). Si cette extrémité tombe en (c’est-à-dire si la longueur est plus petite que ), le second rapport est plus petit que le premier. Si elle tombe en le rapport est plus grand que
Ainsi, sans pouvoir dire précisément ce que c’est qu’un rapport, le géomètre sait comparer les rapports au point de vue de leur grandeur ; il sait, par conséquent, ranger un ensemble de rapports donnés suivant une suite croissante, c’est-à-dire dans un ordre tel que chaque rapport soit supérieur ou égal à tous ceux qui le précèdent dans la suite.
Il y a mieux. Le géomètre peut définir, sans ambiguïté, la somme, la différence, le produit ou le quotient de deux rapports donnés.
93. – Remarquons d’abord qu’étant donné le rapport de deus longueurs quelconques, on peut toujours trouver un rapport égal formé de deux longueurs dont l’une est fixée à l’avance (par exemple égale à l’unités). Portons, en effet, les deux longueurs données sur (fig. 60); elles prennent les positions Prenons, d’autre part, sur la longueur égale à l’unité de longueur et menons parallèle à Le rapport satisfait à la condition requise.
