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quelconques, nous saurons définir leur quotient et leur différence ${\Bigl [}{\Bigr .}$ en particulier le quotient d’un rapport égal à $1$ par un rapport $\mathrm {\frac {AB}{CD}}$ sera le rapport $\mathrm {\frac {CD}{AB}}$ dit inverse ou rapport inverse de $\left.\mathrm {\frac {AB}{CD}} \right].$

D’ailleurs, il serait facile de vérifier nous nous en dispenserons pour ne point allonger cette exposition) que les sommes et produits de rapports jouissent de toutes les propriétés associatives, commutatives et autres que nous avons énumérées en définissant les opérations fondamentales de l’Arithmétique.

95. Application du calcul des rapports au calcul des longueurs. – Ainsi, sans faire appel à la notion de nombre, nous sommes en état de construire un véritable calcul des rapports géométriques^[1], calcul analogue au calcul des fractions (Chap. I, § 5), et qui coïncide exactement avec ce calcul dans le cas particulier où les rapports sont des nombres mesures exactes, voir n^o 88.

D’ailleurs les opérations effectuées sur les rapports correspondent toujours, aux termes mêmes de leurs définitions, à des opérations effectuées sur les grandeurs ; il sera donc toujours possible de transposer le calcul des rapports en un calcul relatif aux grandeurs elles-mêmes.

Convenons de remplacer un rapport de longueurs donné quelconque par le rapport égal $\mathrm {\frac {AB}{UN}} ,$ où $\mathrm {UN}$ est la longueur unité ; nous savons toujours (n^o 93) construire la longueur $\mathrm {AB} \,;$ nous dirons que cette longueur représente (est mesurée par) le rapport donné. Moyennant cette convention, les règles énoncées plus haut peuvent être prises comme définitions des opérations fondamentales addition, soustraction, multiplication, division, effectuées sur les longueurs. Les opérations ainsi définies ont ceci de remarquable que les résultats auxquels elles conduisent sont eux-mêmes toujours des

1. Nous ne nous sommes occupés dans les paragraphes précédents que des rapports de longueurs : l’étude des rapports d’angles, d’aires ou de volumes, conduirait manifestement aux mêmes conclusions. Sur la comparaison de ces différentes sortes de rapport, vide infra, n^o 98.