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Cela dit, soit à faire la somme de deux rapports ${\rm {{\frac {AB}{A'B'}},{\frac {A_{1}B_{1}}{A_{1}'B_{1}'}},}}$ Nous pouvons remplacer ces rapports par des rapports ${\rm {{\frac {CD}{EF}},{\frac {C_{1}D_{1}}{EF}},}}$ qui leur sont respectivement égaux et où $\mathrm {EF}$ est égal à l’unité de longueur. D’ailleurs les deux longueurs (segments) $\mathrm {CD}$ et $\mathrm {C_{1}D_{1}}$ ont une somme bien déterminée qui est un certain segment $\mathrm {GH}$ (n^o 53). Nous considérerons alors comme somme des deux rapports $\mathrm {\frac {CD}{EF}}$ et $\left.\mathrm {\frac {C_{1}D_{1}}{EF}} \ \right[$ et, par conséquent, comme somme de $\mathrm {\frac {AB}{A'B'}}$ et $\left.\mathrm {\frac {A_{1}B_{1}}{A_{1}'B_{1}'}} \right]$ le rapport $\mathrm {\frac {GH}{EF}} .$

94. – Passons au produit de deux rapports. Nous en pouvons donner a priori la définition, définition que nous interprèterons comme il suit. J’imagine qu’après avoir agrandi une épreuve photographique, on opère sur l’agrandissement un nouvel agrandissement^[1]. Finalement l’épreuve aura été agrandie dans un rapport qui sera regardé comme le produit des deux rapports d’agrandissement successivement adoptés. Considérons, en d’autres termes, deux segments $\mathrm {AB,CD}$ de l’épreuve primitive ; appelons $\mathrm {A'B',C'D'}$ (D) leurs images sur la seconde épreuve, et ^[2] $\mathrm {A''B'',C''D''}$ leurs images sur la troisième épreuve. Par définition, le produit des deux rapports (d’agrandissement), ${\rm {{\frac {AB}{A'B'}}\left({\text{ ou }}{\frac {CD}{C'D'}}\right)}}$ et ${\rm {{\frac {A'B'}{A''B''}}\left({\text{ ou }}{\frac {C'D'}{C''D''}}\right).}}$ est égal au rapport ${\rm {{\frac {AB}{A''B''}}\left({\text{ ou }}{\frac {CD}{C'D'}}\right).}}$

De cette définition résulte celle du produit des rapports ${\rm {{\frac {AB}{A'B'}},{\frac {A_{1}'B_{1}'}{A_{1}B_{1}}},}}$ de deux couples quelconques de longueurs ; nous savons en effet d’après le n^o 93), construire une longueur $\mathrm {A_{2}B_{2}}$ dont le rapport à $\mathrm {A_{1}B_{1}}$ soit égal à $\mathrm {\frac {AB}{A'B'}} \,:$ le produit ${\rm {{\frac {AB}{A'B'}}\times {\frac {A_{1}B_{1}}{A'_{1}B'_{1}}}}}$ sera, dès lors, égal au produit ${\rm {{\frac {A_{2}B_{2}}{A_{1}B_{1}}}\times {\frac {A_{1}B_{1}}{A'_{1}B'_{1}}}}}$ donc à $\mathrm {\frac {A_{2}B_{2}}{A'_{1}B'_{1}}} .$

Ayant défini le produit et la somme de deux rapports

1. Comme nous raisonnons sur l’agrandissement, nous pourrions raisonner sur la réduction.
2. Les signes $\mathrm {A',A''} ,\ldots$ se lisent : $\mathrm {A}$ prime, $\mathrm {A}$ seconde, cf, supra, 51.