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Les longueurs \mathrm{A,B,C,D} sont appelées « termes de la proportion ». Lorsque la proportion est écrite sous la forme :

$\mathrm {{\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}} ,$

on appelle souvent les termes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {D}$ « termes extrêmes » ou « extrêmes », et les termes $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ « termes moyens » ou « moyens »^[1]. Si $\mathrm {B}$ est égal à $\mathrm {C.}$ on dit que $\mathrm {B}$ ou $\mathrm {C}$ est moyen proportionnel (ou moyenne proportionnelle) entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {D}$ (vide n^o 20).

Nous trouvons, dans les Éléments d’Euclide (v^e livre une théorie générale des proportions géométriques (vide, p. 102). Cette théorie nous enseigne à déduire, d’une ou plusieurs proportions données, certaines proportions nouvelles. En voici les premiers principes :

La proportion ${\rm {{\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}}}$ peut être retournée grec ; en d’autres termes, on a comme conséquence de la proportion donnée :

${\rm {{\frac {B}{A}}={\frac {D}{C}}.}}$

Les termes moyens peuvent être intervertis grec ; en d’autres d’autres termes, on a: ${\rm {{\frac {A}{C}}={\frac {B}{D}}.}}$

La proportion donnée entraîne également comme conséquence la proportion ${\rm {{\frac {A+B}{B}}={\frac {C+D}{D}}}}$ grec.

Le rapport $\mathrm {\frac {A+C}{B+D}}$ est égal aux deux rapports $\mathrm {\frac {A}{B}}$ et $\mathrm {\frac {C}{D}}$ et forme, par conséquent, une proportion avec chacun d’eux.

Soient données, d’autre part, les deux proportions :

${\rm {{\frac {A}{B}}={\frac {D}{E}},\qquad {\frac {B}{C}}={\frac {E}{F}}\,:\quad }}$on en déduit$\quad {\rm {{\frac {A}{C}}={\frac {D}{F}}.}}$

Soient données, les deux proportions :

${\rm {{\frac {A}{B}}={\frac {E}{F}},\qquad {\frac {B}{C}}={\frac {D}{E}}\,:\quad }}$on en déduit$\quad {\rm {{\frac {A}{C}}={\frac {D}{F}}.}}$

1. On dit aussi que l’une (quelconque) des quatre grandeurs est quatrième proportionnelle aux trois autres.